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1、,分 形 Fractal, 2017年4月20日,银河系,险峻的山川,连绵的海岸线,河流分布图,狂暴的雷电,雪花与冰晶,人体结构,海洋生物,普通树木,蕨类植物,西兰花和多肉植物,金融美元指数分析图,梦幻般的图,花椰菜、树木、山 川、云朵、脑电图、材料断口、闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星 系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层,分形,这一切都与一个熟悉又陌生的名字有关 分形,两大特点： 1.自相似，即局部与整体相似； 2.无限细分。,分形,分形出现 试图用经典几何学描述分形 出现大量处处连续不可微图形,18751925,计算机图形学发展 分形构图软件大量出
2、现 计算机进行分形研究兴起,研究分形维数 分形集的局部性质 分形集的结构 S-集分析与几何性质,成为独立学科 曼德尔布莱特出版里程碑专著,19261975,19762010,2010,分形发展简史,柯赫曲线构图,1.画一条线；,2.三等分，中间部分用等边三角形替代；,3.继续将所有线段三等分，中间部分用等边三角形替代；,柯赫曲线构图,4.继续将所有线段三等分，中间部分用等边三角形替代； 。 。 。 。 。 。,柯赫曲线,柯赫曲线构图演示雪花,另一种柯赫曲线构图,随机柯赫曲线海岸线,线段三等分，中间部分用等边三角形替代，三角形方向扔硬币确定。,三角形谢尔宾斯基地毯,1.将一个等边三角形四等分，去
3、掉中间部分；,2.继续将剩余等边三角形四等分，去掉中间部分。,三角形谢尔宾斯基地毯构图演示,正方形谢尔宾斯基地毯,1.将一个正方形九等分，去掉中间部分；,2.继续将剩余正方形九等分，去掉中间部分。,谢尔宾斯基地毯应用,如同二维码一般的正方形谢尔宾斯基地毯由于其特殊的结构，可以响应各种频段的电磁信号，因此用它来做手机天线，可以把天线做的很小。,谢尔宾斯基海绵三维分形体,类似二维，将一个正方体平均分成27份，取走中间的7个小正方体，剩余部分继续依此规律操作，直至无穷，得到一块类似海绵的分形体。,其他三维分形体,不可能三维分形体,分形树,一种分形树的构图过程,分形体的周长、面积,周长：每次迭代周长变
4、为原周长的4/3倍，故无穷次迭代后雪花的周长趋近无穷大。,面积：小于原三角形外接圆，无穷迭代后面积趋近一个定值若原三角形边长为a，雪花无穷次迭代后面积为0.43a。,无限长的线围成有限的面积。,分形体的表面积、体积,体积：每次迭代体积都更小，无穷次迭代后体积趋近0。,表面积：无穷次迭代后表面积趋近无穷大。,怪异体，只有表面没有内容。,维度的计算,若将一个物体沿线分成m部分，它变成n个，则维度定义为：,线度分成2部分，变成2段，维度为：,线度分成2部分，变成4块，维度为：,分形体的维度,若一个分形含有n个相似的部分，每一个部分的线度是整体的,则分形维度定义为：,分形体的维度,柯赫曲线：因为其全长
5、是无穷大，所以若使用一维来度量结果是无穷大；若使用二维来度量，由于曲线没有宽度，结果是0。所以，该曲线维度介于一维和二维之间。,柯赫曲线维度为：,分形体的维度,谢尔宾斯基地毯维度为：,分形体的维度,谢尔宾斯基海绵维度为：,分形体的维度,分形体的维度一般不是整数。,闵可夫斯基香肠,四方内生树,龙曲线,股票走势分形,洛伦茨曲线,朱丽亚图谱,曼德勃罗集图,广义曼德勃罗集图,k=3 k=4 k=5,曼德勃罗集图逐步放大,曼德勃罗集图逐步放大,曼德勃罗集图逐步放大,曼德勃罗集图“峡谷地带”放大,数学中的动力系统等; 物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等; 化学中酶的构造等; 生物中细胞的生长等; 地质学中的地质构造等; 天文学中土星光环的模拟等; 其它:计算机,经济学,社会学,艺术等,分形的应用,1.事物的外形，存在着整体和局部相似的特点。局部放大后与整体形状类似； 2.事物的发展，也可以从局部的发展，看出事物整体发展的状况； 3.事物的功能，事物局部的功能，也存在着与整体功能相似的情况。,分形的功能,测量海岸线,在测量海岸线长度时，采用不同的尺子得到的结果也不相同，采用更大的红色尺子测出的结果要小于绿色尺子结果，尺子越小，测得长度越长，如果把海岸线放在显微镜下测量长度可能是无限长。,分形艺术图鉴赏,梦,奔月,沙浪,神州,菊,大地之光,DNA,生命,分形画,分形画,谢谢！,
