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1、四个单项练习题库、答案和五个综合练习题练习1 数学建模及竞赛知识介绍1举出两三个实例说明建立数学模型的必要性，包括实际问题的背景，建模目的，需要大体上什么样的模型以及怎样应用这种模型 2怎样解决下面的实际问题包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等 （1）估计一个人体内血液的总量 （2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额） （3）估计一批日光灯管的寿命 （4）确定火箭发射至最高点所需的时间 （5）决定十字路口黄灯亮的时间长度 （6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划 （7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订
2、合理的运行计划3下面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少 4假定人口的增长服从这样的规律：时间t的人口为x (t)，t到t+Dt时间内人口的增长与xm- x(t)成正比（其中xm为最大容量）试建立模型并求解作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较 5为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题： （1）某甲早8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿次日早8：00沿
3、同一路径下山，下午5：00回到旅馆某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点为什么？ （2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？（3）某人住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提
4、前10分钟问他步行了多长时间练习2 初等数学模型1在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度l与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型 2设某产品的售价为p，成本为q，售量为x（与产量相等），则总收入与总支出分别为，试在产销平衡的情况下建立最优价格模型 3在最优价格模型中，如果考虑到成本q随着产量x的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型 4在考虑最优价格模型问题时，设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设q=q0 +bt，b为增长率又设单位时间的销售量为x = a bp（p为价格）今将销售期分为0 t T /2和T/2 t r在每一生产周期T内，开始的
5、一段时间（0tT0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T0tT）只销售不生产，画出贮存量的图形设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期讨论kr和k r的情况参考解答：1解 不妨设，表示火势b越大，灭火速度l越小，分母b+1中的1是防止b0x时l而加的最优解为 2解 因为售量x依赖于价格p，记作，称为需求函数，它是p的减函数由此可知收入I和支出C都是价格p的函数，所以利润U可以表示为 （1） 使利润U（p）达到最大的最优价格p*可以由得到，即 （2）其中称为边际收入，称为边际支出（2）式表明最大利润在边际收入等于边际支出时达到 假设需求函数是线性函数，即，
6、 （3）并且每件产品的成本q与产量x无关，将总收入函数、总支出函数、需求函数和（3）式代入（1）式可得用微分法求出使U（p）达到最大的最优价格p*为 （4） 在（3）式中a可以理解为这种产品免费供应时（p = 0）社会的需求量，称为“绝对需求量”表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度在实际工作中a，b可以由价格p和售量x的统计数据用最小二乘法拟合来确定（4）式表明最优价格是两部分之和，一部分是成本q的一半，另一部分与“绝对需求量”成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反比 3不妨设，k是产量增加一个单位时成本的降低最优价格为 4总利润为 由，可得最优价格， 设总销量为Q0， 在此约束条件下的最大
7、值点为，5解 （1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w和s无关的成分又因为形状一定时一般有sw2/3，故商品的价格可表为C = aw+b w2/3+g（a，b，g为大于0的常数） （2）单位重量价格，其简图如图3所示显然c是w的减函数，说明大包装商品比小包装商品便宜；曲线是下凸的，说明单价的减少值随包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品 图3 6解 将管道展开如图4，可得，若d一定，awpd，；，若管道长度为l，不考虑两端的影响时布条长度显然为，若考虑两端的影响，则应加上对于其它形状管道，只需将改为相应
8、的周长即可 图4qtOT0Tk-rr 7解 贮存量的图形如图5单位时间总费用，使达到最小值的最优周期 当kr时，相当 于不考虑生产的 图5情况当k r时，因为产量被销量抵消，无法形成贮存量练习3：数学规划模型 1一家保姆公司专门向顾主提供保姆服务根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天，保姆从该公司而不从顾主那里得到报酬，每人每月工作800元春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15%的保姆自动离职 （1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公
9、司制定下一年的招聘计划（建立数学模型） （2）如果在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划（建立数学模型） 2某工厂生产两种产品A、B分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和赢利如下表产品预测售量（万件/周）生产率（件/小时）单位利润（元/件）A710000.15B4.510000.3制定一合理的生产方案，要求依次满足下列目标： （1）充分利用现有能力，避免设备闲置； （2）周加班时间限制在10小时以内； （3）两种产品周生产品量应满足预测销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比； （4）尽量减少加班时间例3 医院为病人配制营养餐，要求每餐中含
10、有铁不低于50单位，蛋白质不低于40单位，钙不低于42单位假设仅有两种食品A和B可供配餐，相关数据见下表试问，如何购买两种食品进行搭配，才能即使病人所需营养达到需求，又使总花费最低？ 食品营养含量A B（单位）铁蛋白质钙10 55 86 5（mg）(g)(mg)价格4 3(元/kg)参考解答：1解 （1）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x1, x2, x3, x4人，4个季度开始时保姆总数量分别为S1, S2, S3, S4人以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为s.t. （2）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x1, x2, x3,
11、x4人，4个季度结束时解雇的保姆数量分别为y1, y2, y3, y4人，4个季度开始时保姆总数量分别为S1, S2, S3, S4人以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为s.t. 2解 （1）建立模型 设：每班上班时间为8小时，在上班时间内只能生产一种产品； 周末加班时间内生产哪种产品不限； 生产A产品用x班，生产B产品用y班，周加班时生产A产品用x1小时，生产B产品用y1小时则有 （2）求解 现在求满足（1）中第2，3个方程可看出：，； 将（1）中的第1个方程代入第4个方程得：现在就是在满足，条件下，使上式两端的取值尽量接近显然， 因此 制定方案为，
12、生产A，B两种产品所占总时间各一半，周加班10小时全用于生产产品B3解：设购买食品A和B依次为x1和x2（kg），则有营养最低要求满足：10x1+5x250 （铁含量） 5x1+8x240 （蛋白质含量）6x1+5x242 （钙含量）总花费数记为Z，则有数学模型 s.t.用图解法求解上述问题首先以x1,x2为坐标轴，建立平面直角坐标系（如图3-10），由于x1,x2均非负，故只画出了第一象限其次，将其余约束条件几何化条件（3.1）表示的是一个半平面，先画出直线10x1+5x2=50,因为10x1+5x250，故直线（3.1）的上方区域即条件（3.1）所满足的x1,x2的取值范围；同理将条件（3.2）、（4.3）也几何化，并注意到几个条件要同时满足，便求得一个以顶点A、B、C、D为顶点的右上方
