《正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用.doc（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘 要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。 关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using
2、typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技
3、巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列S n 有界，即存在某正数M ，对n N ，有S n 2、几种不同的判别法 (1)比较判别法设u n 和v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切nN都有u n v nn =1n =1那么(i )若级数v n 收敛，则级数u n 也收敛； (ii )若级数u n 发散，则级数v n 也发散；n =1n =1n =1n =1比较判别法的极限形式 ：设u n 和v n 是两个正项级数。若limn =1n =
4、1u n=l ，则n +v n(i )当时，u n 与v n 同时收敛或同时发散；n =1n =1(ii )当l =0且级数v n 收敛时，u n 也收敛；n =1n =1(iii )当l 且v n 发散时，u n 也发散。n =1n =1(2) 比值判别法设u n 为正项级数， N 0N ，有n =1u n +1(i )若对一切n N 0，成立不等式q u n i =1u n +1(ii )若对一切n N 0，成立不等式1，则级数u n 发散。u n i =1(3) 根式判别法设u n 是正项级数，且存在某正整数N 0及正常数Mn =1(i )若对一切n N 0，成立不等式u n (ii )
5、若对一切n N 0，成立不等式根式判别法的极限形式：n =1设u n 是正项级数，且lim u n =l ，则n +M i =1u n 1，则级数u n 发散。i =1(i )当l 1时，级数u n 发散；(iii )当l =1时，级数的敛散性进一步判断。n =1n =1(4) 柯西积分判别法对于正项级数u n ，设u n 单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值函数n =1f (x )(f (x )0)，使得当x 等于自然数n 时，其函数恰为u n 。那么级数u n 积分，n =1A n =f (x )d (x )，同时收敛或同时发散。1(5) 拉贝判别法设u n 是正项级数，且存在自然数
6、N 0及常数r ，n =1u n +1(i )若对一切n 1，则级数u n 发散；i =1n u n +1(ii )若对一切n N 0，成立不等式n 1-u i =1n 拉贝判别法的极限形式：u n +1设u n 是正项级数，且极限lim n 1-=r 存在，则 n + u n =1n (i )当r 1时，级数u n 发散。n =1n =1(iii )当r 1时，拉贝判别法无法判断。(6) 阿贝尔判别法 如果：(i ) 级数b n 收敛；n =1(ii )数列a n 单调有界，a n如果：K(n =1, 2, 3, )，则级数a n b n 收敛。n =1(7) 狄立克莱判别法变量级数判别法(
7、i )级数b n 的部分和B n 有界，B nn =1M(n =1, 2, 3, )(ii )数列a n 单调趋近于零，则级数a n b n 收敛。n =1注：阿贝尔判别法与狄立克莱判别法是任意级数判别法，但也适用正项级数。(8) 对数判别法设a 0，n n 0，u n 为正项级数，若n =11(i )1+a ，n 0，u n 收敛 ln n n =1ln1(ii )ln(9) 高斯判别法a n +1a 1 设u n 为正项级数，若u 1-=1+ ， a n ln n ln n n =1则在1时，级数u n 收敛;n =1n =1三、 判别方法的比较1、当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或
8、等比值或通项为含有二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的比较判别法判断。如：111（1） 1+23n 1取02111111S n +p -S n =+=0n +1n +22n 2n 2n 2所以级数发散（2）n =1n +2-2n +2+nS n =3-22+1+)4-2+)-24+. +)n +2-2n +1+n)=1-2+n +2-n +11=1-2+n +2+n +1S=lim S n =1-2n P 级数只能用正项级数的比较判别法进行判断最为简便。12、当级数表达式形如u n ，u n 为任意函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级u n +1u n +1lim
9、 =1lim n n +u n +u n n 、n +数、P 级数、调和级数进行比较不易算出或、等此类无lim法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用比较判别法。例：112（1） 级数收敛 ()a 1 na n =11+a1111（2） 级数收敛 =ln n ln n ln ln n 2ln n 2e e n n =1ln n 比较判别法使用适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。3、当级数含有n 的阶乘，n 次幂，形如a ! 或a n 或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。当通项含a n 的函数可以选用比值判别法的极限形式进行判断，例：n13(2n -1)（1
10、） n ! n =1u 2n +1lim n +1=lim =2级数发散 n +u n n +1n（2） n n +12n =1利用a 0时，有等价无穷小关系arctan a a ，3若记a n =n arctana则lim n +1=lim n +a n n2n +1，(n +1)n +2(n +1)=limn n n +12所以级数n n +1收敛2n =1n +2n 2n +1=1当4、当级数含有n 次幂，形如a n 或(u n )n 或通项u n =1即分母含有含ln x 的函数，pn ln n分子为1，或级数含有多个聚点时，可选用根式判别法。例如：n （1） n =12n +1n 1
11、lim n =lim =级数收敛 n n 2n +12一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比值判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比值判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比比值判别法更优。例如：（2）1+b +bc +b n c n +4 (0lim 2n b n -1c n -1=n nlim 2b n c n =n bc1，级数发散 bcbc=1，原式=1+b +1+b + 级数发散 用比值判别法u n +1lim =c n u n_c 1 级数收敛 b 1 级数发散limu n +1=bn un由例题可知，两种判别法都可以用来判断上题，但根式判别法与比值判别法相
12、比得出的收敛范围更小，约束条件更为详细。因此，上题选用根式判别法比比值判别法更好。在使用判别法时，我们可以选用根式判别法找到最佳收敛条件。同时也存在只能使用根式判别法，使用比值判别法无法判断的情况。例如：（3）2-n -(-1)5111 级数收敛 =(-1)n n n 222不可使用比值判别法nu n +1-1+2(-1)无法判断敛散性 lim =lim 2n u n n因此，当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时，我们可以选用比值判别法或根式判别法。lim n =lim5、当级数表达式形如11，u n 为含有ln n 的表达式或可以找到原函数，或级数u n u n u n为1, +)上非负单
13、调递减函数，u n 含有ln n 等的因子可以找到原函数，可以选用柯西积分判别法。例：11()u x =，其中 x ln x ln ln x n ln n ln ln n n =3因为u (x )dx 发散，所以级数发散36、当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0的数列，另一部分为部分和有界的数列；或可化为(-1)，如：(-1)nn (n -1)2=(-1)；也可以行如nsin (u )，unn为任意函数，则可以选用狄立克莱判别法。阿贝尔判别法也可以看成是狄立克莱判别法的特殊形式。例：3n +11设b n 收敛，则级数b n 1+，b n ln 等都是极限。2n n n =1n =1n =1n7、当通项可通过泰勒展开式等方法找到其等价式，则可以通过判断其等价式的敛散性来判断原正项级数的敛散性，这需要对泰勒展开式能够较为熟练的使用，以及对各种等价式能够熟练的运用。例：sin (2en ! )n a (a 0) 11Qe =1+（泰勒展开式）1! n !111sin (2e
