《通信原理》-樊昌信-曹丽娜(第六版)第11章-差错控制编码(1)

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1、1,通信原理,2,通信原理,第11章差错控制编码,3,差错控制 error-control 信道编码器 channel encoder 反馈信道 feedback channel 检错重发 error detection and retransmission 前向纠错 forward error correction 自动请求重发 automatic-repeat request,4,第11章差错控制编码,11.1 概述 信道分类：从差错控制角度看 随机信道：错码的出现是随机的 突发信道：错码是成串集中出现的 混合信道：既存在随机错码又存在突发错码 差错控制技术的种类 检错重发 前向纠错 反馈

2、校验 检错删除,5,第11章差错控制编码,差错控制编码：常称为纠错编码 监督码元：在发送端需要在信息码元序列中增加一些差错控制码元，它们称为监督码元。 不同的编码方法，有不同的检错或纠错能力。 多余度：就是指增加的监督码元多少。例如，若编码序列中平均每两个信息码元就添加一个监督码元，则这种编码的多余度为1/3。 编码效率(简称码率) ：设编码序列中信息码元数量为k，总码元数量为n，则比值k/n 就是码率。 冗余度：监督码元数(n-k) 和信息码元数 k 之比。 理论上，差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高传输可靠性。,6,第11章差错控制编码,自动要求重发(ARQ)系统 3种ARQ系统 停

3、止等待ARQ系统 数据按分组发送。每发送一组数据后发送端等待接收端的确认(ACK)答复，然后再发送下一组数据。 系统是工作在半双工状态，时间没有得到充分利用，传输效率较低。,7,第11章差错控制编码,拉后ARQ系统 发送端连续发送数据组，接收端对于每个接收到的数据组都发回确认(ACK)或否认(NAK)答复。 在这种系统中需要对发送的数据组和答复进行编号，以便识别。显然，这种系统需要双工信道,8,第11章差错控制编码,选择重发ARQ系统 它只重发出错的数据组，因此进一步提高了传输效率。,9,第11章差错控制编码,ARQ的主要优点：和前向纠错方法相比 监督码元较少即能使误码率降到很低，即码率较高；

4、 检错的计算复杂度较低； 检错用的编码方法和加性干扰的统计特性基本无关，能适应不同特性的信道。 ARQ的主要缺点： 需要双向信道来重发，不能用于单向信道，也不能用于一点到多点的通信系统。 因为重发而使ARQ系统的传输效率降低。 在信道干扰严重时，可能发生因不断反复重发而造成事实上的通信中断。 在要求实时通信的场合，例如电话通信，往往不允许使用ARQ法。,10,第11章差错控制编码,ARQ系统的原理方框图 在发送端，输入的信息码元在编码器中被分组编码（加入监督码元）后，除发送外，还暂存于缓冲存储器中。 接收端仅当解码器认为接收信息码元正确时，才将信息码元送给收信者，否则在输出缓冲存储器中删除接收

5、码元。 当解码器未发现错码时，经过反向信道发出不需重发指令。发送端收到此指令后，即继续发送后一码组，发送端的缓冲存储器中的内容也随之更新。,11,11.2 纠错编码的基本原理,实例：,000(晴) 001(云) 010(阴) 011(雨) 100(雪) 101(霜) 110(雾) 111(雹),000(晴) 011(云) 101(阴) 110(雨),000(晴) 111(雨),只允许使用4组,使用2组,不能发现错误,可能发现一个错误或检测3个错码,检测2个以下错码，或能纠正一个错码,12,第11章差错控制编码,如果不要求检(纠)错，为了传输4种不同的信息，我们用两位码组：00，01，10，11

6、。代表所传信息的这些两位码，称为信息位。,13,第11章差错控制编码,将信息码分组，为每组信码附加若干监督码的编码集合，称为分组码。 分组码一般用符号(n,k)表示，其中k是每组二进信息码元的数目，n是编码组的总位数，又称为码组长度（码长），n-k=r为每码组中的监督码元数目，或称监督位数目。,14,第11章差错控制编码,分组码的码重和码距 码重：把码组中“1”的个数目称为码组的重量，简称码重。 码距：把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距离，简称码距。码距又称汉明距离。 例如，“000”晴，“011”云，“101”阴，“110”雨，4个码组之间，任意两个的距离均为2。 最小码距：把某

7、种编码中各个码组之间距离的最小值称为最小码距(d0)。例如，上面的编码的最小码距d0 = 2。,15,第11章差错控制编码,码距的几何意义 对于3位的编码组，可以在3维空间中说明码距的几何意义。 每个码组的3个码元的值(a1, a2, a3)就是此立方体各顶点的坐标。而上述码距概念在此图中就对应于各顶点之间沿立方体各边行走的几何距离。 由此图可以直观看出，上例中4个准用码组之间的距离均为2。,16,第11章差错控制编码,码距和检纠错能力的关系 一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力 为检测e个错码，要求最小码距 d0 e + 1 【证】设一个码组A位于O点。若码组A中发

8、生一个错码，则我们可以认为A的位置将移动至以O点为圆心，以1为半径的圆上某点，但其位置不会超出此圆。 若码组A中发生两位错码，则其位置不会超出以O点为圆心，以2为半径的圆。因此，只要最小码距不小于3，码组A发生两位以下错码时， 不可能变成另一个准用 码组，因而能检测错码 的位数等于2。,17,第11章差错控制编码,同理，若一种编码的最小码距为d0，则将能检测(d0 - 1)个错码。反之，若要求检测e个错码，则最小码距d0至少应不小于( e + 1)。 为了纠正t个错码，要求最小码距d0 2t + 1 【证】图中画出码组A和B的距离为5。码组A或B若发生不多于两位错码，则其位置均不会超出半径为2

9、以原位置为圆心的圆。这两个圆是不重叠的。判决规则为：若接收码组落于以A为圆心的圆上就判决收到的是码组A，若落于以B为圆心的圆上就判决为码组B。 这样，就能够纠 正两位错码。,18,第11章差错控制编码,若这种编码中除码组A和B外，还有许多种不同码组，但任两码组之间的码距均不小于5，则以各码组的位置为中心以2为半径画出之圆都不会互相重叠。这样，每种码组如果发生不超过两位错码都将能被纠正。因此，当最小码距d05时，能够纠正2个错码，且最多能纠正2个。若错码达到3个，就将落入另一圆上，从而发生错判。故一般说来，为纠正t个错码，最小码距应不小于(2t + 1)。,19,第11章差错控制编码,为纠正t个

10、错码，同时检测e个错码，要求最小码距 在解释此式之前，先来分析下图所示的例子。图中码组A和B之间距离为5。按照检错能力公式，最多能检测4个错码，即e = d0 1 = 5 1 = 4，按照纠错能力公式纠错时，能纠正2个错码。但是，不能同时作到两者，因为当错码位数超过纠错能力时，该码组立即进入另一码组的圆内而被错误地“纠正”了。,20,第11章差错控制编码,所以，为了在可以纠正t个错码的同时，能够检测e个错码，就需要像下图所示那样，使某一码组（譬如码组A）发生e个错误之后所处的位置，与其他码组（譬如码组B）的纠错圆圈至少距离等于1，不然将落在该纠错圆上从而发生错误地“纠正”。因此，由此图可以直观

11、看出，要求最小码距 这种纠错和检错结合的工作方式简称纠检结合。,21,第11章差错控制编码,这种工作方式是自动在纠错和检错之间转换的。当错码数量少时，系统按前向纠错方式工作，以节省重发时间，提高传输效率；当错码数量多时，系统按反馈重发方式纠错，以降低系统的总误码率。所以，它适用于大多数时间中错码数量很少，少数时间中错码数量多的情况。,22,第11章差错控制编码,11.3 纠错编码的性能 系统带宽和信噪比的矛盾： 由上节所述的纠错编码原理可知，为了减少接收错误码元数量，需要在发送信息码元序列中加入监督码元。这样作的结果使发送序列增长，冗余度增大。若仍须保持发送信息码元速率不变，则传输速率必须增大

12、，因而增大了系统带宽。系统带宽的增大将引起系统中噪声功率增大，使信噪比下降。信噪比的下降反而又使系统接收码元序列中的错码增多。一般说来，采用纠错编码后，误码率总是能够得到很大改善的。改善的程度和所用的编码有关。,23,第11章差错控制编码,编码性能举例 未采用纠错编码时， 若接收信噪比等于 7dB，编码前误码率 约为810-4，图中A 点，在采用纠错编码 后，误码率降至约4 10-5，图中B点。这样， 不增大发送功率 就能 降低误码率约一个半 数量级。,24,第11章差错控制编码,由图还可以看出，若 保持误码率在10-5， 图中C点，未采用编 码时，约需要信噪比 Eb / n0 = 10.5

13、dB。在 采用这种编码时，约 需要信噪比7.5 dB，图 中D点。可以节省功率 2 dB。通常称这2 dB为 编码增益。 上面两种情况付出的代 价是带宽增大。,25,第11章差错控制编码,传输速率和Eb/n0的关系 对于给定的传输系统 式中，RB为码元速率。 若希望提高传输速率， 由上式看出势必使信 噪比下降，误码率增 大。假设系统原来工作 在图中C点，提高速率后 由C点升到E点。但加用 纠错编码后，仍可将误码 率降到D点。这时付出的 代价仍是带宽增大。,26,例 已知码组集中有8个码组为（000000）、（001110）、（010101）、（011011）、（100011）、（101101）

14、、（110110）、（111000），若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？ 解：最小码距dmin =3。所以 用于检错，由dmin e+1得e=2，能检出2位错码。 用于纠错，由dmin 2t+1得t=1，能纠正1位错码。,27,线性分组码 linear block codes 循环码 cyclic codes 卷积码 convolutional codes 纠错码 error-correcting codes 检错 error detection 纠错 error correcting 混合纠错 hybrid error correct,28,第11章差错控制编码,11.

15、4简单的实用编码 11.4.1 奇偶监督码 奇偶监督码分为奇数监督码和偶数监督码两种，两者的原理相同。在偶数监督码中，无论信息位多少，监督位只有1位，它使码组中“1”的数目为偶数，即满足下式条件： 式中a0为监督位，其他位为信息位。 这种编码能够检测奇数个错码。在接收端，按照上式求“模2和”，若计算结果为“1”就说明存在错码，结果为“0”就认为无错码。 奇数监督码与偶数监督码相似，只不过其码组中“1”的数目为奇数：,29,第11章差错控制编码,11.4.2 二维奇偶监督码（方阵码） 二维奇偶监督码的构成 它是先把上述奇偶监督码的若干码组排成矩阵，每一码组写成一行，然后再按列的方向增加第二维监督

16、位，如下图所示 图中a01 a02 a0m为m行奇偶监督码中的m个监督位。 cn-1 cn-2 c1 c0为按列进行第二次编码所增加的监督位，它们构成了一监督位行。,30,第11章差错控制编码,二维奇偶监督码的性能 这种编码有可能检测偶数个错码。因为每行的监督位虽然不能用于检测本行中的偶数个错码，但按列的方向有可能由cn-1 cn-2 c1 c0等监督位检测出来。有一些偶数错码不可能检测出来。例如，构成矩形的4个错码，譬如图中 错了，就检测不出。 这种二维奇偶监督码适于检测突发错码。因为突发错码常常成串出现，随后有较长一段无错区间。 由于方阵码只对构成矩形四角的错码无法检测，故其检错能力较强。 二维奇偶监督码不仅可用来检错，还可以用来纠正一些错码。 例如，仅在一行中有奇数个错码时。,31,第11章差错控制编码,11.4.3 恒比码 在恒比码中，每个码组均含有相同数目的“1”（和“0”）。由于“1”的数目与“0”的数目之比保持恒定，故得此名。 这种码在检测时，只要计算接收码组中“1”的数目是否对，就知道有无错码。 恒比