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1、1 广东省佛山市第一中学广东省佛山市第一中学 2018-2019 学年高二下学期第一次段考试题（学年高二下学期第一次段考试题（4 月）月） 数学（理）数学（理） 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.函数 f(x)=x3+x 在点 x=1 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4 + 2 = 042 = 04 + + 2 = 04 + 2 = 0 2.函数，则（ ） () = A. 为函数的极大值点B. 为函数的极小值点 = () = () C. 为函数的极大值点D. 为函数的极小值点 = 1 () = 1 () 3.（理）的值是（ ） 1 0
2、( 1(1)22) A. B. C. D. 4 1 3 41 2 1 3 21 4.函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ( ) ()( + 3)() 3 8.如图所示，正弦曲线 y=sinx，余弦曲线 y=cosx 与两直线 x=0，x= 所围成的阴影部分的面积为（ ） A. 1B. C. 2D. 22 2 9.下列说法正确的是：（） 设函数可导，则 ； = () 0(1 + )(1) 3 = (1) 过曲线外一定点做该曲线的切线有且只有一条； = () 已知做匀加速运动的物体的运动方程是米 ，则该物体在时刻秒的瞬时速度是 5 米 () = 2+ () = 2 秒； / 一物体以速度米 秒
3、做直线运动，则它在到秒时间段内的位移为 12 米； = 32+ 2(/) = 0 = 2 已知可导函数，对于任意时，f(x)0 是函数在上单调递增的充要条件 = () (,) = ()(,) A. B. C. D. 10. 若函数在 上可导,则 ( ) ()() ()(1) = ()(1) = () 11. 已知结论：“在正三角形 ABC 中，若 D 是边 BC 的中点，G 是三角形 ABC 的重心，则”若把 = 2 该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体 A-BCD 中，若BCD 的中心为 M，四面体内部 一点 O 到四面体各面的距离都相等，则 （ ） = A. 1B. 2C. 3
4、D. 4 12. 把非零自然数按定的规则排成了下面所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)，设（aij，ijN+）是 位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行，从左往右数第 j 个数，如 a42=8，若 i=65，j=3，则 aij的值为 ( ) 1 2 4 3 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 A. 2053B. 205lC. 2049D. 2047 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13.已知函数在（0，2）上有极值 ，则实数 m 的值为_ () = 33 2 2 + 3 2 14.函数的图象与 x 轴所围成的
5、封闭图形的面积等于_。 ()= 2 , (0 0) 求等待开垦土地的面积； 如何确定点 C 的位置，才能使得整块土地总价值最大 20.一种十字绣作品由相同的小正方形构成，如图，图分别是制作该作品前四步时对应的图案，按 照如此规律，第 n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为 f(n). (1)求出 f(2)，f(3)，f(4)的值； (2)利用归纳推理，归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系式； (3)猜想 f(n)的表达式，并写出推导过程. 5 21.已知函数 f（x）=ax+lnx（aR） （）求函数 f（x）的单调递增区间 （）已知 g（x）=4x-32x+1，若对任意的 m（0，
6、+），存在 n0，1，使得 f（m）g（n），求 实数 a 的取值范围 22.设函数（其中 kR） () = (1) 2 2 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）当 k0 时，讨论函数 f（x）的零点个数 6 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查导数的几何意义，首先求出函数 f(x)在点 x=1 处的导数，也就是切线的斜率，再利用点 斜式求出切线方程 【解答】 解：， 切线斜率， 又f(1)=2，切点为（1，2）， 切线方程为 y-2=4（x-1）， 即 4x-y-2=0. 故选 B. 2.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查导数的综合应用，考查利用导数
7、求函数的单调性及极值，考查计算能力，属于基础 题求导，令 f（x）0，求得函数的单调递增区间，令 f（x）0，求得函数的单调递减区间，根据 单调性得到函数的极值问题. 【解答】 解：的定义域（0，+），f（x）=， 令 f（x）=0，解得：0xe，令 f（x）=0，解得：xe， 函数在（0，e）上递增，在（e，+）上递减， 当 x=e 时，函数有极大值. 故选 A. 3.【答案】A 【解析】 解：=， 设，则（x-1）2+y2=1，（,y0），表示为圆心在（1，0），半径为 1 的 7 圆，所以由积分的几何意义可知, 而， 所以= 故选 A 根据微积分的积分公式和微积分基本定理的几何意义进行计
8、算即可 本题主要考查微积分的基本公式以及微积分的几何意义，要求熟练掌握基本函数的微积分公 式 4.【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题 根据函数图象分别讨论 x（-，-1）时，x（-1，1）时，x（1，+）时的情况，从而得出答案 【解答】 解：x（-，-1）时，f（x）0， 解不等式（x+3）f（x）0，得 x-3， x（-1，1）时，f（x）0， 解不等式（x+3）f（x）0，得；-1x1， x（1，+）时，f（x）0， 解不等式（x+3）f（x）0，无解 综合得 x（-，-3）（-1，1）， 故选 A 5.【答案】D
9、【解析】 【分析】 本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键 根据导数的定义进行求解即可 【解答】 解：， =1， 即=1， 8 则=. 故选 D. 6.【答案】A 【解析】 【分析】 先求出 f（x）=2x+3f（1），令 x=1，求出 f（1 ）后，导函数即可确定，再求 f（2）本题考查函数与导 数，求导公式的应用及函数值求解本题求出 f（1 ） 是关键步骤 【解答】 解：f（x）=2x+3f（1），令 x=1，得 f（1）=2+3f（1），f（1）=-1， f（x）=2x-3 f（2）=1 故选 A 7.【答案】D 【解析】 解：若 y=+（b+6）x+3 在
10、R 上存在三个单调区间， 只需 y=x2+2bx+（b+6）=0 有 2 个不相等的实数根， 即只需=4b2-4（b+6）0，解得：b-2 或 b3， 故选：D 问题转化为只需 y=x2+2bx+（b+6）=0 有 2 个不相等的实数根即可 本题考查了函数的单调性问题，考察二次函数的性质，是一道基础题 8.【答案】D 【解析】 【分析】 本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对学生的运算求解能力和数形结合 思想提出一定要求由图形可知，阴影部分的面积等于正弦函数与余弦函数图形到的面积， 所以利用此区间的定积分可求 【解答】 解：由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于 ；
11、 故选 D 9 9.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了导数的概念，导数的几何意义，以及导数的单调性，根据条件逐项判断即可. 【解答】 解：对于选项，设函数,则，故错. 对于选项，过曲线 y=f(x)外一定点做该曲线的切线有且只有一条，故错. 对于选项，已知做匀速运动的物体的运动方程为，则，所以,故 正确. 对于选项，一物体以速度做直线运动，则它在 t=0 到 t=2 时间段内的位移为 ，故正确. 对于选项，已知可导函数，对于任意时，是函数在(a，b)上单调 递增的充分不必要条件，故错. 故选 B. 10.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，是基础题. 利用
12、 f（x）xf（x），证明是 R 上的单调增函数，即可得出结论 【解答】 解：f（x）xf（x）， f（x）-xf（x）0， 0, 是 R 上的单调增函数， ， ef（1）f（e） 故选 A 10 11.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求 解能力，考查空间想象力、化归与转化思想属于基础题 【解答】 解：推广到空间，则有结论：“” 设正四面体 ABCD 边长为 1，过 A 作面 BDC 的垂涎 AM, AM 交面 BDC 于 M, 则四面体体积 由对称性可知，棱长都相等的四面体 A-BCD 的内切球心 O 在垂线 AM 上，内切球半径
13、为 r=OM 又 O 到四面体各面的距离都相等， 则 所以 AM=4OM，所以 故答案为：3 12.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查简单的演绎推理及数列的特点，属于中档题. 【解答】 解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列， aij是第 65 行第 3 个数， 由图知，第 65 行都是奇数，设奇数为 2n-1， 它是第 1+3+.+63+3=1027 个， 因此 aij为 21027-1=2053. 故选 A. 11 13.【答案】2 【解析】 【分析】 本题考查了函数的极值，属于中档题 对函数求导，令导函数等于 0，求出 x=0，1，根据函数在在（0，2）上有极值，
14、 可知，即可求解. 【解答】 解：f（x）=3x2-3x，令 f（x）=0，得 x=0，1， 函数在（0，2）上有极值， ，m=2， 故答案为 2 14.【答案】 5 6 【解析】 【分析】 先作出 f（x）的图象，它与 x 轴所围成的封闭图形的面积问题用 定积分求解本题考查分段函数的图象问题、利用定积分求面 积问题，难度不大 【解答】 解：由下图可知 s=x2dx+= + = 故答案为 . 15.【答案】-3，+） 【解析】 【分析】 本题主要考查函数单调性和单调区间的应用，求函数的导数利用导数研究单调性是解决本题的 关键求函数的导数，根据函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论 【解答】 解：函数 f（x）=x3+ax-2 在区间1，+）上单调递增， 12 f（x）=3x2+a0，在区间1，+）恒成立， 即 a-3x2， -3x2-3， a-3， 故实数 a 的取值范围是-3，+） 故答案为-3，+） 16.【答案】a 1 2 【解析】 解：不妨设 x1x2，则 x1-x20， f（x1）-f（x2）4（x1-x2）， 4， 可得 y=f（x）-4x=alnx+（x+1）2-4x 在 x0 递增， y=+2（x+1）-4 +2（x+1）4， a-2x2+2x -2x2+2x=-2（x-）2+ a
