数学史与数学教育(3)

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1、数学史与数学教育,第三章 初等几何 本章将以几何中“形”的发展过程作为脉络，出简单到复杂，由单维到多维，由直观到抽象，由直觉到论证，对初等几何进行全面的分析。,初等几何,3.1几何的历史 3.2几何度量 3.3几何测量,3.1几何的历史,一.几何的起源 无意识几何阶段 跟人类历史一样古老的“形的意识”，在远古时期就被清晰地表现 出来了。 “形” 的意识来自于“物”，这里的“物”，一是指自然界的物体，二 是指人类的实践活动。 几何中的“结构”意识，在人类活动的初期，其表现的特征是简单 的模仿和比照。 总之，“形”的意识、“度量”意识和“结构”意识来自于人们对自然 界的感受和体验，来自于适应大自然

2、，改造大自然的实践活动。这 是人类在几何领域中最原始、最基本的抽象活动，是对几何的粗浅 而简单、直接而形象的认识。 我们把这一阶段的几何称作无意识几何（阶段）。,3.1几何的历史,儿童在形成几何概念、了解几何性质以及认识几何结构上，是否 也要经历无意识几何阶段呢? 从过程来看，每个儿童都必定要经历这种无意识几何阶段。 从内容范围来看，与人类历史相比，现在的儿童在这一阶段，可 以接触到前所未有的十富多彩的现实索材。,3.1几何的历史,二几何的发展 经验几何的产生 当人们经历了“无意识几何”的漫长酝酿之后，慢慢步入了经验几何阶段。 所谓“经验几何”就是人们通过对大量的具体几何素材进行反复地感受和体

3、验，归纳、概括出较为一般的几何关系，在实践中对之加以验证和检验，并从中挖掘和发现更新的几何关系的一种实验型几何的历史阶段。 对经验几何的特点加以分析后，可以发现其中包含“特例研究发现法”，即对具体事例进行分析、研究和实验，采用归纳、类比、联想等思维方法，发现几何关系的本质特征，揭示事物的内在规律，寻找解决问题的办法，从而达到解决问题的目的。,3.1几何的历史,在经验几何阶段，思维发展水平限制了对一些难度较大的问题的 进一步探索，从而被迫转而采用实验的方法对问题进行粗略的、近 似的处理。 对于现今的中学几何教学而言，经验几何的思想方法提供了许多 深层次的启示意义： “经验几何”能够提供给学生广阔

4、的数学活动空间，使数学教学成 真正意义上的“数学活动的教学”。 以“经验几何”的活动方式对几何问题进行探索，能够提升学生学 习的主动性。 “经验几何”中所含的主要思想方法便为“不完全归纳法”，而这一 方法在发展学生的“策略创造”思维方面具有独特的效能。 所以，在几何学习过程中，我们主张先从“宏观”生动活泼的 “策略创造”出发，再以“微观” 一丝小苟的“逻辑演绎”予以补正。,3.1几何的历史,三论证几何 1.论证几何产生的哲学基础 论证几何的基本要素有两个，一是几何的基本原理 公理是否可靠；二是逻辑推理的过程是否严密。而古希腊的哲学为其提供了坚实的理论基础和思想支柱。 古希腊爱奥尼亚学派的创始人

5、泰勒斯(Thales，约公元前624前647) 被公认为是希腊的第一个几何学家，他不仅是希腊哲学的鼻祖,也是论证几何的先行者。 而后柏拉图把自已的哲学与数学溶为一体，认为不知道数学的人， 不可能接受哲学知识。 柏拉图的学生亚里士多德(Aristotle，希腊，约公元前384前322)， 作为演绎逻辑的创造者，对论证几何的贡献是无与伦比的，被称作是第一个把这些规律典范化和系统化的人。,3.1几何的历史,2.几何原本 欧几里德的几何原本(Elements)堪称论证几何的典范，在世界各 地流传甚广，曾被译成多种文字。 几何原本共含十三篇，内容涉及初等几何，初等数论和几何代 数。 Elements其实

6、纯粹是众多学者智慧的结晶，但欧几里德依然是 个大数学家，他毕竟对前人的成果加以整理、归纳、完善和发展。 欧几里德(Euclid，希腊，约公元前330前275)曾经在柏拉图的学园 中学习过一段时间，深受柏拉图、亚里士多德等人的影响，后主持过 亚历山大数学学派，成为这一学派的奠基人。 可以说,欧几里德的几何就是论证几何，论证几何阶段的代表人物当 属欧几里德本人，而几何原本则是论证几何的最重要的思想体现。,3.1几何的历史,3.论证几何在中国 在中国古代几何领域中也曾存有论证几何的影子。 就在与希腊欧几里德相同的年代，中国式的论证几何著作 墨经诞生了，它是我国战国时期的墨家思想的代表作，其中论及 数

7、学、逻辑学等方面的内容，特别在墨经的“经上”、“经上说” 等篇章中，给出了许多几何定义和命题。,3.1几何的历史,4.对论证几何的思考 论证几何在一千多年的时间里始终占据了几何领域内的主导地 位(直至19世纪非欧几何的诞生)，而欧几里德也一直是几何的代名 词，其深刻的历史原因有:,3.1几何的历史,崇尚理性是当时（古希腊时期）人们的普遍愿望，追求“形而上”的“经院式”哲学理念，在古希腊上流社会中表现得尤为突出。 由于经验几何使用方法的不确定性和随意性，所得结论与实际情况 出入较大，以及对无理量的疑惑，人们开始意识到，直观是不可靠的。 在许多人看来，几何原本是最好的思想材料，论证几何中演绎 推理

8、的思想方法可以训练人的思维，使其既理性又严密，既和谐完整 又无懈可击。 论证几何的创导者和支持者们认为论证几何是数学与逻辑的完美结 合，他们把似乎走到尽头的经验几何重新引向了光明的大道上，同时 也为逻辑思辩找到了新的用武之地，从而使数学变成了最具“智慧”的 科学。,3.1几何的历史,问题3.1 1. 几何发展一般经历有哪几个阶段？各具有什么特点？ 2. 试分析“论证几何”在古希腊产生的历史原因。 3. 试分析“无意识几何”对培养儿童“形”的意识的重要作用。 4. 古希腊“论证几何”对数学发展具有怎样历史意义？ 5. 为什么说“经验几何”是几何发展进程中不可或缺的历史阶段？,3.2几何度量,一.

9、长度的度量 人们在实践中形成“直线”的概念后，进一步就要考虑，如何确定这些线段的“大小” 呢? 毕达哥拉斯学派是通过两个线段中所含“数目”的比来确定线段的“大小”，但由于不可公度量的存在，使得这一工作难以继续。 而后，天才的欧道克斯引入了“变量”(简称量)而“巧妙地”饶开了无理数，使得“量”只有几何上的意义，而与“数”无关。 这样由两个“量”的比来确定线段的“大小”，导致作为基准的、固定 的量的产生，即“单位长”的出现。 中国古代对“单位长”的使用显得非常得心应手。 孙子算经(公元400年)中曾对长度的度量作出了形象的描述：“度之所起，起子忽，欲知其忽，蚕吐丝为忽”。,3.2几何度量,二.面积

10、的度量 由于东、西方数学家对几何认识角度不同，几何的理论基础存在较大差异，因此对面积的处理方式、采用的方法也各有特色。 1多边形面积 在“形”的意识不断完整化过程中，处理“形”的“大小”问题日显重要。 正方形、矩形的面积度量难度并不大，人们甚至是直接拿这些“完 整”的几何图形作为面积度量的“基准”，相当于长度中的“单位”。 毕达哥拉斯就直接用因数的积给出正方形和矩形的面积定义。 我国九章算术第一章“方田(正方形和矩形的田的统称)”中第一 题：今有田广(即宽)十五步，从(同纵)十六步。问为田几何。答 曰：一亩。方田术曰：广从步数相乘得积步(乘积的平方步数)。 可见对于正方形和矩形的面积问题，古人

11、早有研究。,3.2几何度量,由此，“直角三角形”的面积也就不难解决了，但困难的是如何求“斜三角形”的面积，以及不规则的多边形面积。 (1) 欧几里德的“转化”思想在面积理论中的应用 两个三角形的面积转换：等底等高的两个三角形面积相等。 几何原本卷一35题：同底并界于两平行线之间的平行四边形 (面积)彼此相等。由命题35之结果，易得上述结论。 复杂的多边形向简单的三角形“转化” 欧几里德曾给出这样的结论：一个（凸）多边形总可以“转化”为 与其面积相等的三角形。,3.2几何度量,(2) 中国古代“出入相补原理”在面积理论中的应用 “出入相补(以盈补虚)原理”也称“拼补原理”或“割补原理”。对给定的

12、几何图形进行“分割”、“拼凑”、“补缺”和“搭配”等，使之转化为简单的或已知的几何图形，从而达到计算不规则直线形面积的目的。 九章算术“方田”章给出了具体的方法。,3.2几何度量,(3) 早期三角形面积公式 海伦公式 海伦(Heron，约100年)在他的著作测量学给出了三角形面积公 式，并在其他著作(如经纬仪、度量)中给予了证明。 对这一公式的证明，海伦是采用论证几何的“纯演绎”的手段来完成 的。 印度数学家婆什迦罗(11141185)在丽罗瓦提(Lilavati嬉有章)中作出三角形曲积的求法，他的作法是“纯代数”的。,3.2几何度量, 1247年南宋秦九韶在数书九章中讨论了“已知三角形三边求

13、它 的面积”这一问题，并给出了一个数学公式 。但这一公式来历不 明，其证明方法早已失传，后人的猜测趋同于“出入相补原理”， 其中用到刘徽公式。 以上三种方法分别从几何演绎、几何代数与几何变换等不同的角度对三角形面积进行了研究，显示出各自的特色，反映了三个国度的数学文化特征。,3.2几何度量,2曲边形面积 (1) 欧几里德对圆的面积的研究 几何原本第十二篇命题2：“圆与圆(的面积)之比等于以其直径为边的正方形(面积)之比。” 那么这一事实在当时是如何被确认的呢? 首先需要一个我们称之为“欧道克斯原理”的引理，其次采用“穷竭法”(欧道克斯最先使用这一原理)对圆进行“穷竭”，最后以“穷举法”(间接证

14、法的一种)对之加以证明。,3.2几何度量,(2) 阿基米德对曲边形面积的研究 阿基米德生平简介 意大利西南岛屿西西里岛的一个沿海城镇叙拉古（当时受希 腊控制）是天文学家、力学家和数学家阿基米德（Archimedes，公 元前287前212）的故乡。 杠杆和重心理论的建立是阿基米德在力学上的第一次贡献，他在 这方面的著作共有四篇：杠杆论 、支柱论（已失传） 、 板的平衡两篇。 他的流体力学定律和杠杆原理为大家所熟知，许多关于他的故事 至今被传诵。,3.2几何度量,圆的度量 阿基米德在其著作圆的度量中对圆进行研究时，首先提出圆周长的度量问题。 阿基米德分别作圆的内接正多边形和外切正多边形，求得圆的

15、周长与直径之比的近似值22/73.1428。这一结果被后人称作“阿基米德数”，是公元前圆周率的最好结果。 抛物弓形的面积 阿基米德在论抛物线求积法就如何求抛物弓形的面积作了专门的研究。,3.2几何度量,（3）刘徽的“割圆术” 刘徽在九章算术注中指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割， 以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。” 这就是刘徽“弧矢割圆术”（简称“割圆术” ）的思想方法。 那么，他的具体作法是怎样的呢？ 首先通过圆内接正六边形来推算圆内接正十二边形的面积。 一般地得到刘徽不等式 S2n S S2n + （S2n-Sn） （*） 圆周率的计算,3.2几何度量,刘徽利用公式（*）计算到圆内接正192边形，得到如下结果： 3.1410243.142704。 后祖冲之（南北朝，公元429500）得圆周率的结果为： 3.14159263.1415927 有人推测很可能也是采用刘徽的“割圆术”，并且使用了刘徽公式（*）。 同时，祖冲之给出了约率22/7（即阿基米德数），以及著名圆周率 分数355/113（3.1415929203），称之为密率。这一结果曾在世界上 保持了一千多年的领先地位。,3.2几何度量,三体积的度量 1.多面体体积的计算 (1) 刘徽的三个基本几何体概念 刘徽说道：“邪（斜）解立方得两堑堵”。又说：“邪（斜）解堑堵