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1、简单回归模型及其参数估计 第2-5节课件 上课时间: 9月13日、9月15日 9月20日、9月26日,计量经济学,Outline,第一节课内容回顾,1,简单回归模型:一个例子,2,简单回归模型,3,4,最小二乘估计参数性质,5,拟合优度,1.第一节课内容回顾,计量经济学是什么? 计量经济学的研究大致分为哪几步? 计量经济学有哪几种主要的数据结构?,2.简单回归模型:一个例子,从上节课列举的例子开始,可见,本例中的函数为多元函数(有七个自变量) 根据这一函数得出的计量经济模型是:,简化起见,我们首先讨论简单回归模型 别名:双变量回归模型、一元线性回归模型,何为回归分析? 回归分析是关于研究一个叫
2、做因变量的变量对另一个或者多个叫做自变量的变量的依赖关系,其用意在于通过后者(在重复抽样中)的已知或设定值,去估计、预测因变量的(总体)均值。 回归分析不意味着因变量和自变量之间存在因果关系。 从逻辑上说,统计关系式本身不意味着任何因果关系。,Step 1 理论或假说的陈述,Step 2 理论的数学模型的设定 根据Step1的理论假说,我们得到如下数学模型,在简单回归模型的例子中,为简便起见, 假定f()为线性形式,即,Step 3 根据数学模型构建计量经济模型 上一步中的函数为一元函数,则所构建的模型为简单回归模型,即:,其中,u为误差项(又称作干扰项),Step 4 搜集数据 我们假设已搜
3、集到下列数据(属于哪种数据结构?) 注:fertilizer与yield均为随机变量。,Step 5 参数估计 有哪些待估参数?,所估参数记作,由于在搜集数据时,无法搜集全部数据,只能获得部分数据(即样本)。 则所估参数无法等同于总体的参数,只能作为估计量。,参数估计的结果是:,对参数估计结果的思考: 对于参数估计的结果 如何能保证fertilizer在其他因素不变的情况下影响yield?,方法:对随机误差项和自变量施加假设。 如何假设?我们先回到简单回归模型的一般形式。,3.简单回归模型,简单回归模型是研究两个变量之间关系的计量模型。 这两个变量,其一是自变量,其一是因变量。 简单回归模型的
4、方程:,其中: y为因变量 x为自变量 u为关系式中的误差项、干扰项 (除x之外影响y的因素),为使简单回归模型适用,应当施加什么假设? (弱假设)当方程中包含截距项时,总体中u的平均值为零,即E(u)=0 (强假设)u的平均值与x无关,即E(u|x)=E(u)=0 这意味着:对任意给定的x值,无法观测因素的平均值都相等,并因此必然与总体中u的平均值相等。,在作出上述假定的前提下,有:,估计参数的方法:最小二乘法(高斯提出的方法) 样本:记样本容量为n 对模型 目标为:,可以发现,上式分别对两个参数求一阶偏导数,并令其为零的情形,与之前的两个假设相一致。,参数估计结果(推导过程见板书):,第三
5、节课课堂作业: 就上节课所举的例子中五组数据而言 fertilizer的均值为15 yield的均值为105 任务:估计出计量经济模型中的相关参数。 答案:,高斯为何要提出最小二乘法? 原因:最小二乘法得出的估计量,在满足一定条件时,具有良好的统计性质。 为何要求估计量有良好的统计性质? 因为参数的估计量是基于样本得出的,而我们一般很难获得总体参数,因此,我们需要借助估计量及其概率分布,获得对总体参数的感知。,总结:总体回归模型、总体回归线 样本回归模型、样本回归线,数理性质: 1.OLS估计量是纯粹由可观测样本量表达的, 因而容易计算。 2.OLS估计量是点估计量,而非区间估计量。 3.由O
6、LS估计量决定的样本回归线通过Y和X的样本均值,且估计的Y均值等于实测的Y均值。,4. 最小二乘估计参数性质,4. 最小二乘估计参数性质,统计性质: 符合下述假定的简单回归模型为经典线性回归模型 1. 在重复抽样中,X是非随机的变量。 2. 3. 4. 5. 6. 观测次数n必须大于待估计参数的个数 7. 模型设定正确,无完全的多重共线性,1. 在重复抽样中,X是非随机的变量。 为何作此假定? X是模型中的自变量,计量经济模型所探讨的正是自变量对因变量的影响。 倘若自变量无法度量,则无法推知并度量自变量对因变量所产生的影响。,2. 回顾:何谓条件期望?,该假定的含义是: 无论因变量在样本中取何
7、值,给定该因变量时的所有随机误差项期望值为零。,3. 给定X值,对所有的观测,随机误差项的方差都是相同的。,4. 各个干扰项之间无自相关性。 给定X,任意两个Y值对它们的均值的离差都不会表现出系统性模式。,5. 干扰项与解释变量之间不相关。 当假定1和假定2成立时,则该假定自然成立。,6. 观测次数n必须大于待估计参数的个数 假如观测次数n小于待估计参数,我们就无法得到一组唯一确定的参数解。 (回忆一下线性代数课程的相关知识),7. 模型设定正确,无完全的多重共线性 模型设定不正确,则无法从理论上对计量结果予以解读。 多重共线性会导致变量之间存在相关性。,经典线性回归模型 Classical
8、Linear Regression Model 简称作CLRM 在符合相关假定的情况下,CLRM的估计量具有良好的数理性质和统计性质(高斯-马尔科夫定理) 它相当于微观经济学中的完全竞争市场,是分析问题的基础,之后各部分内容都在这一模型的基础上展开。,高斯-马尔科夫定理: 在给定经典线性回归模型的假定下,最小二乘估计量在无偏线性估计量一类中,有最小方差,即最优线性无偏估计量(BLUE)。 何谓线性? 何谓无偏?,线性:估计量是因变量的线性函数。 无偏:估计量的均值或期望值等于真实值。 最优线性无偏估计量:在符合线性和无偏两个标准的估计量中,其方差是最小的。 既然几个估计量都是线性和无偏的,人们就会选择有较小方差的估计量,因为它比另一个估计量更接近参数的真实值。,OLS估计量方差(可证明其方差最小):,若 未知,则用其估计量替代:,5.拟合优度,依据普通最小二乘法估计出的样本回归线,在多大程度上能够与总体回归线拟合? 度量指标:拟合优度,即TSS=ESS+RSS 其中,TSS为总平方和 ESS为由回归解释的平方和 RSS为未被解释的平方和 则拟合优度为:,