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1、1 福建省永安市第三中学福建省永安市第三中学 2019 届高三毕业班届高三毕业班 4 月份阶段测试月份阶段测试 数学（理）试题数学（理）试题 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. . 1.已知复数 满足（ 为虚数单位） ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【详解】解：由，得， 故选：A 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本
2、概念，是基础题 2.若集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出集合 N，然后进行补集、交集的运算即可 【详解】N0，1，2，3，4，R RMx|x1； （R RM）N N0，1 故选：B 【点睛】本题考查补集、交集的运算，描述法、列举法的定义，熟记交集，补集的定义是关键，是基础题 3.已知等差数列的公差，是其前 项和，若, ，则的值是 （ ） 2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由等差数列性质求的值，进而求得，再由求和公式求解即可 【详解】由等差数列性质知 3故，则. 则 故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质，求和公式，熟记性质及求和
3、公式，准确计算是关键，是基础题 4.( + )(2 - )5的展开式中 3 3的系数为 A. -80B. -40C. 40D. 80 【答案】C 【解析】 ， 由展开式的通项公式可得： 当时，展开式中的系数为； 当时，展开式中的系数为， 则的系数为. 故选 C. 【名师点睛】 （1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根 据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)； 第二步是根据所求的指数，再求所求解的项. （2）求两个多项式的积的
4、特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 5.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积 为（ ） 3 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将三视图还原，再求外接球半径即可求表面积 【详解】由题将三视图还原为如图所示的几何体：三棱锥 A-BCD,则其外接球为正方体的外接球，又正方体 边长为 3，则 2R=所以外接球的表面积为 故选：D 【点睛】本题考查三视图及外接球问题，正确将三视图还原，准确求解外接球半径是关键，考查空间想象能 力，是基础题 6.已知的内角 A，B，C 的对边分别别为 a，b，c，且 则 =（ ）
5、 A. 6B. C. 8D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，化简已知，可得 2sinCcosCsinC，由 sinC0，可求 cosC， 4 再由余弦定理即可得求解 c 值 【详解】由已知及正弦定理得 2cosC（sinAcosB+sinBcosA）sinC， 即 2cosCsin（A+B）sinC， 故 2sinCcosCsinC， 由 sinC0，可得 cosC， 由余弦定理得解 c= 故选：B 【点睛】本题主要考查了正弦，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理在解三角形中的应用， 考查了转化思想，属于基础题 7.中国古代第一部数学专
6、著九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两两直角边分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三 角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论. 【详解】 直角三角形的斜边长为， 设内切圆的半径为 ， 则，解得， 内切圆的面积为， 豆子落在其内切圆外部的概率是，故选 C. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角
7、度 型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问 题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导 致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事 5 件是否等可能性导致错误. 8.右图为函数的图象，则该函数可能为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：根据图象的特征，选择适合题意得函数. 详解：由图可知，时， 而 A，C ,D , 故选：B 点睛：识图常用的方法 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或
8、下降)的趋势，利用这一特征分析解决 问题； (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； (3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题 9.已知函数，则函数满足（ ） A. 最小正周期为B. 图像关于点对称 C. 在区间上为减函数D. 图像关于直线对称 【答案】D 【解析】 函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosxsinx）sinx=sin2x =（sin2x+cos2x）=sin（2x+）+， 故它的最小正周期为，故 A 不正确； 令x=，求得f（x）= +=，为函数 f（x）的最大值，故函数 f（x）的图象关于直线x=对称， 且 f（x
9、）的图象不关于点（ ，）对称，故 B 不正确、D 正确； 6 在区间（0， ）上，2x+ （ ， ） ，f（x）= sin（2x+ ）+ 为增函数，故 C 不正确， 故选：D 10.如图，在正方体中,平面垂直于对角线 AC,且平面截得正方体的六个表面得到截 面六边形,记此截面六边形的面积为 ,周长为 ,则（ ） A. 为定值, 不为定值B. 不为定值, 为定值 C. 与 均为定值D. 与 均不为定值 【答案】B 【解析】 【分析】 将正方体切去两个正三棱锥和，得到一个几何体 ， 是以平行平面和为上下底， 每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形的每一条边分别与 的底面上的一条边平行，设正方体棱长
10、为 ， ，可求得六边形的周长为与 无关，即周长为定值；当都在对应棱的中点时， 是正六边形，计算可得面积，当 无限趋近于时， 的面积无限趋近于，从而可知 的面 积一定会发生变化。 【详解】设平面 截得正方体的六个表面得到截面六边形为 ， 与正方体的棱的交点分别为 （如下图） ， 将正方体切去两个正三棱锥和，得到一个几何体 ， 是以平行平面和为上下底， 每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形 的每一条边分别与 的底面上的一条边平行，设正方体棱长为 ， ，则，故，同理可证 明，故六边形 的周长为，即周长为定值； 当都在对应棱的中点时， 是正六边形，计算可得面积， 三角形的面积为，当 无限趋近于时，
11、的面积无限趋近于，故 的面积 一定会发生变化，不为定值。 7 故答案为 B. 【点睛】本题考查了正方体的结构特征，考查了截面的周长及表面积，考查了学生的空间想象能力，属于难 题。 11.已知函数在区间上是增函数,且在区间上存在唯一的使得,则 的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数是奇函数，可知在上是增函数，从而得到，即，又因为函数在区 间上存在唯一的使得，可得到，结合，可得到， 从而得到，即可选出答案。 【详解】函数在区间上是增函数,又因为是 R 上奇函数，根据对称 性可知函数在上是增函数,则，解得， 因为，所以， 因为函数在区间上存在唯一的使得,
12、 所以，则，则，解得，只有当时， 满足题意，故，所以只有选项 A 不可能取到。 【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了正弦函数的单调性、周期性、最值，考查了学生的逻辑思维能力 与计算求解能力，属于难题。 12.已知函数，若函数存在零点，则实数 的取值范围为 （ ） 8 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，把函数 g（x）=f（x）ax+a 存在零点转化为方程 f（x）ax+a=0 存在实数根，也就是函数 y=f（x）与 y=a（x1）的图象有交点，作出函数图象，数形结合得答案 【详解】 函数存在零点， 即方程存在实数根， 即函数与的图象有交点， 如图所示，直线恒过
13、定点， 过点与的直线的斜率， 设直线与相切于， 则切点处的导数值为， 则过切点的直线方程为， 又切线过，则， ，得， 此时切线的斜率为， 由图可知，要使函数存在零点， 则实数 的取值范围是或， 故选：B. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； 9 (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 第第 IIII 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分. .第第(13)(
14、13)题题 第第(21)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答. .第第 (22)(22)题题 第第(24)(24)题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13.已知向量，若向量与 共线，则实数 m=_. 【答案】 【解析】 依题意，故，因为向量与 共线，所以，解 得. 14.实数满足,则的最大值是_. 【答案】21 【解析】 【分析】 画出满足的可行域，当目标函数经过点时， 取得最大值，求解即可。 【详解】画出满足的可行域，由解得点，则目标函
15、数经过点时， 取得最大值为. 【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。需 要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中 10 的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界 上取得。 15.已知抛物线 ：的焦点为 ，准线 与 轴的交点为 ， 是抛物线 上的点，且轴.若以 为直径的圆截直线所得的弦长为 ，则实数 的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，先表示出的坐标，然后可得到直线的方程，求出圆心到直线的距离为，圆的半 径为，再结合弦长为，
16、求解即可。 【详解】由题意，设 在第一象限，则，则直线的方程为 ，以为直径的圆的圆心为，半径为，则 到直线的距离为， 则圆 截直线所得的弦长为，解得. 【点睛】本题考查了抛物线的性质，考查了圆的性质，考查了圆中弦长的计算，属于中档题。 16.已知分别为双曲线的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足，若直线 与双曲线的另一个交点为 N，则的面积为_. 【答案】24 【解析】 【分析】 设|m，|n，根据双曲线的定义知，可求出 m6，n2，再设|t，则 |4+t 根据勾股定理求出 t6 即可求出三角形的面积 【详解】设|m，|n， 分别为双曲线的左、右焦点， mn2a4，|2c2 ， ， 11 m2+n24c240， （mn）2m2+n22mn， 即 2mn401624， mn12， 解得 m6，n
