东北三省三校（、、 ）2019届高三第二次模拟数学（理）试题（解析版）

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1、1 2019 年高三第二次联合模拟考试年高三第二次联合模拟考试 理科数学试卷理科数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个项中，只有一项在每小题给出的四个项中，只有一项 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先解不等式得到集合 ，再根据题中条件，即可判断出 与 之间关系. 【详解】由得或，故或， 又，所以. 故选 D 【点睛】本题主要考查集合之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型. 2.已知（ 为虚数单位） ，则复数（ ） A

2、. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先将式子化为，再由复数的除法运算即可得出结果. 【详解】因为，所以，故. 故选 C 【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型. 3.过点的直线 与圆相交于 ， 两点，若，则该直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由题意，设直线的方程为；根据弦长和半径确定点到直线的距离，再由点到直线的距离公式即 可求出结果. 2 【详解】由题意设直线 的方程为，因为圆的圆心为，半径为，又弦 长，所以圆心到直线的距离为， 所以有，解得. 故选 A 【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，熟记点到直线距

3、离公式以及几何法求与弦长有关的问题，属于基 础题型. 4.将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现 1 次反面朝上”的概率记为 ，现采用随机模拟的方法估计 的值：用计算机产生了 20 组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出 现“恰有 1 次反面朝上”的频率记为 ，则 ， 分别为（ ） 111 001 011 010 000 111 111 111 101 010 000 101 011 010 001 011 100 101 001 011 A. ，B. ，C. ，D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，可直接得到“连掷三次，恰出现 1 次反

4、面朝上”的概率 ； 根据题中数据，列举出“连掷三次，恰出现 1 次反面朝上”所包含的情况，即可得出 ； 【详解】由题意可得，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现 1 次反面朝上”的概率 ； 由表中数据可得， “连掷三次，恰出现 1 次反面朝上”所包含的情况有：011，101，101，011，011，101，011 共 7 组， 所以. 故选 B 【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率问题、以及随机模拟法求概率的问题，熟记相关概念即可，属于 基础题型. 5.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3 【解析】 【分析】 由诱导公式可得，根据，再由二倍角公式即可得出结果. 【详解

5、】因为 所以. 故选 B 【点睛】本题主要考查给值求值问题，熟记诱导公式与二倍角公式即可，属于基础题型. 6.已知函数，若，则（ ） A. -4B. -3C. -2D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】 先由得到，进而可求出结果. 【详解】因为，所以， 因此； 又，所以. 故选 C 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型. 7.四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 连接交于点 ，连接，证明平面，进而可得到即是直线与平面所成角，根据题 中数据即可求出结果. 4 【详解】连接交于点

6、 ， 因为平面，底面是正方形， 所以，因此平面；故平面； 连接，则即是直线与平面所成角， 又因，所以，. 所以，所以. 故选 A 【点睛】本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型. 8.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且， 则 的一个可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由题意写出解析式，根据可知为奇函数，进而可求出 . 【详解】由题意可得， 又，所以为奇函数， 因此， 故，所以， 所以 可以取 . 故选 A 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，以及三角函数的性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考 5 题型

7、. 9.双曲线 ：，分别为其左，右焦点，其渐近线上一点 满足，线段 与另一条渐近线的交点为 ， 恰好为线段的中点，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. 2C. 3D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意得到双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，；不妨令 在渐近线 上，则 在上，设，根据题意求出 点坐标，再得到 的坐标，将 坐标代入直线 ，即可得出结果. 【详解】由题意得双曲线 ：的渐近线方程为，； 不妨令 在渐近线上，则 在上，设， 由得，即，解得，所以， 又 恰好为线段的中点，所以，因 在上， 所以，因此，故离心率为 2. 故选 B 【点睛】本题主要考查双曲线的斜率，熟记双曲线的性质

8、即可，属于常考题型. 10.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股 圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形 组成的） ，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边 三角形拼成的一个大等边三角形，设，则（ ） 6 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先设，根据题意可知，求出的长，延长交于，求出的长，再由 平面向量基本定理即可得出结果. 【详解】设，因此，又由题意可得， 所以， 因此； 延长交于， 记， 则，所以；

9、 又由题意易知，则， 在三角形中，由正弦定理可得， 即，因此， ， 所以， 因为，所以，即， 整理得， 所以. 故选 D 7 【点睛】本题主要考查解三角形以及平面向量基本定理，熟记正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定理 即可，属于常考题型. 11.已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先在长方体中还原该三棱锥为，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置，设球的半径为 ， 列出方程即可求出结果. 【详解】根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为，且长方体的底面边长为 2，高为； 取中点为 ，上底面中心为 ，连接，则， 因

10、为三角形为直角三角形，所以 点为三角形的外接圆圆心， 因此三棱锥的外接球球心，必在线段上，记球心为 ，设球的半径为 ，则， 所以有， 因此，解得， 所以该三棱锥的外接球表面积为. 8 故选 C 【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型. 12.已知直线与椭圆 ：相交于 ， 两点， 为坐标原点.当的面积取得最大值时， （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先联立直线与椭圆方程，设，由韦达定理得到与，结合弦长公式表示出弦长 ，进而表示出三角形的面积，根据面积最大值，可求出，代入弦长的表达式，即可得出结果. 【详解】由，得.

11、设，则， . 又 到直线的距离， 则的面积 ， 当且仅当，即时，的面积取得最大值. 此时，. 9 故选 A 【点睛】本题主要考查椭圆中的弦长问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、以及弦长公式等 求解，属于常考题型. 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.函数，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据解析式，由内向外逐步代入即可得出结果, 【详解】由题意，所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查求函数值，分段函数中的求函数值问题是比较常见的一种题型，属于基础题. 14.的展开式中的系数是_ 【答案】-16 【解析】 【

12、分析】 先将化为，再结合展开式的通项公式即可得出结果. 【详解】因为， 又展开式的通项为， 求的展开式中的系数，只需令或， 故所求系数为. 故答案为 【点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于常考题型. 15.设的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 先由正弦定理得，得到，再由余弦定理得，即可求出结果. 【详解】因为，由正弦定理可得，即，解得； 10 又由余弦定理得， 因此，解得. 故答案为 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型. 16.以抛物线焦点 为圆心， 为半径作圆交 轴于 ， 两点，连结

13、交抛物线于点 （ 在线 段上） ，延长交抛物线的准线于点 ，若，且，则的最大值为_ 【答案】32 【解析】 【分析】 先由题意，得到以 为圆心， 为半径的圆的方程，再令 为 轴正半轴上的点，从而求出 点坐标，得到直线 的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出两点坐标，即可用 表示出，再由 ，且，求出 的范围，即可得出结果. 【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为， 所以以 为圆心， 为半径的圆的方程为， 因为 ， 两点为圆与 轴的两个交点，不妨令 为 轴正半轴上的点， 由得，； 所以直线的斜率为，因此直线的方程为， 由得； 由得， 所以， ， 又，且，所以，即， 因此，当且仅当

14、时，取等号. 11 故答案为 【点睛】本题主要考查抛物线的性质，通常需要联立直线与抛物线方程等求解，属于常考题型. 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题.第第 22、23 题为选考题题为选考题.） 17.已知数列的前 项和为，满足，数列为等比数列，公比为 ，且， . （）求数列，的通项公式； （）求数列的前 项和. 【答案】 （） （） 【解析】 【分析】 （）先由得到，两式作差得； 根据为等比数列，公比为 ，且，求出首项和公比即可得出结果； （）先得到，写出，两边同乘以 ，

15、再作差 整理，即可得出结果. 【详解】解：（I）因为 ， ，又 . （II）因为 所以， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列、以及错位相减法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型. 18.如图，直三棱柱中，点 是棱的中点. 12 （）求证：平面； （）若，在棱上是否存在点，使二面角的大小为，若存在， 求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】 （）见解析（） 【解析】 【分析】 （）先连接，交于点 ，再由线面平行的判定定理，即可证明平面； （）先由题意得，两两垂直，以 为原点，如图建立空间直角坐标系 设 ，求出两平面的法向量，根据法向量夹角余弦值以及二面角的大小列出等式，即可

16、 求出 ，进而可得出结果. 【详解】解：（）证明：连接，交于点 ，则 为中点， 连接，又 是棱的中点， 平面，平面， 平面. （）解：由已知，则，两两垂直 以 为原点，如图建立空间直角坐标系 则， 设 则， 设平面的法向量为 ， 则 取平面的一个法向量. 13 设平面的法向量为 ， 则 取平面的一个法向量 . ，得或 ， 存在点，此时，使二面角的大小为 45. 【点睛】本题主要考查线面平行、以及已知二面角求其它量的问题，通常需要熟记线面平行的判定定理来证 明平行；另外，向量法求二面角是最实用的一种做法，属于常考题型. 19.椭圆 ：，点，动直线与椭圆 交于， 两点，已知直线的斜率为，直 线的斜率为，且，的乘积为 . （）若，求实数 的值； （）若，求证：直线过定点. 【答案】 （）（）过定点 【解析】 【分析】 （）先由，设，表示出，进而可求出结果； （）联立