《2019数学新设计北师大选修2-1精练 第二章 空间向量与立体几何 测评 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019数学新设计北师大选修2-1精练 第二章 空间向量与立体几何 测评 （15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 - 第二章测评第二章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.在以下命题中,不正确的有( ) |a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件; 若 ab,则存在唯一的实数 ,使 a=b; 若向量 a,b,c 构成空间的一个基底,则 a+b,b+c,c+a 构成空间的另一个基底; |(ab)c|=|a|b|c|. A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析:只有正确,故选 C. 答案:C 2. 如图,已知四面体 ABCD,E,F,G,H 分别为 A
2、B,BC,CD,AC 的中点,则)=( ) A.B. C.D. 解析:)=)=, 又,)=. 答案:C - 2 - 3.已知 A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令 a=,b=,则 a+b=( ) A.(5,-9,2)B.(-5,9,-2) C.(5,9,-2)D.(5,-9,-2) 解析:A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0), a=(-1,0,-2),b=(-4,9,0), a+b=(-5,9,-2). 答案:B 4.已知 O-ABC 是四面体,G1是ABC 的重心,G 是 OG1上一点,且 OG=3GG1
3、,若=x+y+z,则(x,y,z)为( ) A.B. C.D. 解析:如图, 连接 AG1并延长交 BC 于点 E,则 E 为 BC 的中点, )=-2),-2). =3=3(),)= ,故选 A. 答案:A 5.设 xy0z,空间向量 m=,n=,且 x2+9z2=4y(x-y),则 mn 的最小值是( ) A.2B.4C.2D.5 解析:空间向量 m=,n=, mn=x2+9z2 - 3 - =4y(x-y)+ 2=4. 当且仅当 4y(x-y)=时取等号. 则 mn 的最小值是 4. 答案:B 6. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F 分别在 A1D,AC 上,且 A
4、1E= A1D,AF= AC,则 ( ) A.EF 至多与 A1D,AC 之一垂直 B.EF 与 A1D,AC 都垂直 C.EF 与 BD1相交 D.EF 与 BD1异面 解析:以 D 为坐标原点,分别以的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 D-xyz,设正 方体的棱长为 3,则 A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),=(-3,0,-3),=(- 3,3,0),=(1,1,-1),=0,=0,A1DEF,ACEF.又=(-3,-3,3), =-3,即 BD1与 E
5、F 平行.故选 B. 答案:B 7.已知空间三点 O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线 OA 上有一点 H 满足 BHOA,则点 H 的坐标为 ( ) A.(-2,2,0)B.(2,-2,0) C.D. 解析:由=(-1,1,0),且点 H 在直线 OA 上,可设 H(-,0),则=(-,-1,-1).又 BHOA, =0,即(-,-1,-1)(-1,1,0)=0,即 +-1=0,解得 =,H,故选 C. 答案:C 8. - 4 - 如图,正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面内的投影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 的夹
6、角是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析: 如图,以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O-xyz.设 OD=SO=OA=OB=OC=a,则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P ,则=(2a,0,0),=(a,a,0),设平面 PAC 的一个法向量为 n,可取 n=(0,1,1),则 cos=,所以=60,所以直线 BC 与平面 PAC 的夹角为 90-60=30. 答案:A 9. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,E 是 A1B1的中点,则点 E 到平面 ABC1D1的距离是( ) A.B. C.D. 解析: 建立如图所示的坐标系,
7、 - 5 - 正方体的棱长为 1, A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E. 设平面 ABC1D1的法向量为 n=(x,y,z). n=0,且 n=0,即(x,y,z)(0,1,0)=0,且(x,y,z)(-1,0,1)=0. y=0,且-x+z=0,令 x=1,则 z=1,n=(1,0,1). n0=.又, 点 E 到平面 ABC1D1的距离为|n0|=. 答案:B 10. 如图,在四面体 P-ABC 中,PC平面 ABC,AB=BC=CA=PC,则平面 ABP 与平面 APC 的夹角的余弦值为( ) A.B. C.
8、D. 解析: 取 AC 的中点 D,连接 BD,过 D 作 DEPC,以 DB,DC,DE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直 角坐标系.由图知平面 APC 的法向量为. 设 AB=1, 则 D(0,0,0),B,A,C,P, - 6 - =(0,-1,-1),. 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z), 则 令 y=3,n=(-,3,-3). cos=-, 即平面 ABP 与平面 APC 的夹角的余弦值为. 答案:C 11.设 a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两组向量 x1,x2,x3,x4和 y1,y2,y3,y4均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成
9、,若 x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为 4|a|2,则 a 与 b 的夹角为( ) A.B.C.D.0 解析:设 a 与 b 的夹角为 .x1y1+x2y2+x3y3+x4y4有以下三种可能: 2aa+2bb=2|a|2+2|b|2=10|a|2; 4ab=4|a|2|a|cos =8|a|2cos ; aa+2ab+bb=|a|2+2|a|b|cos +|b|2=5|a|2+4|a|2cos . 由此易知最小,则 8|a|2cos =4|a|2, 解得 cos =,=. 答案:B 12.导学号 90074051已知平面 与平面 的夹角为 60,AB,ABl,A
10、为垂足, CD,Cl,ACD=135,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( ) A.B.C.D. 解析:如图, 在平面 内过 C 作 CEAB, 则ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角,不妨取 CE=1,过 E 作 EO 于 O. - 7 - 在平面 内过 O 作 OHCD 于 H, 连 EH,则 EHCD. 因为 ABCE,ABl,所以 CEl. 又因为 EO平面 ,所以 COl,所以ECO=60. 而ACD=135,COl,所以OCH=45. 在 RtECO 中,CO=CEcosECO=1cos 60=.在 RtCOH 中,CH=COcosOCH=sin 45=
11、.在 RtECH 中,cosECH=.所以异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为.故选 B. 答案:B 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.已知 l,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 的法向量为,则 m= . 解析:l,l 的方向向量与平面 的法向量垂直,即(2,m,1)=0,2+ m+2=0,m=-8. 答案:-8 14.已知正方体 ABCD-ABCD的棱长为 1,设=a,=b,=c,则= . 解析: 如图,取 CC中点 E,连接 AC,AE. 正方体 ABCD-ABCD的棱长为 1, =a,=b,=c, a+b+c=.
12、 =|=. 答案: 15. - 8 - 如图,PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,AB=2,E 为 PB 的中点,cos=.以 D 为原点,分别以 DA,DC,DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系,则点 E 的坐标为 . 解析:设 DP=2a,则 P(0,0,2a),B(2,2,0),E(1,1,a),A(2,0,0).=(0,0,2a),=(-1,1,a), cos=,解得 a=1.E(1,1,1). 答案:(1,1,1) 16. 如图,等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB,平面 ABC 与平面 ABDE 的夹角的余弦值为,M,N 分别 是 AC,
13、BC 的中点,则 EM,AN 所成角的余弦值为 . 解析:如图所示,过点 C 作 CO平面 ABDE,垂足为 O,取 AB 的中点 F, 连接 CF,OF,OA,OB,则CFO 为二面角 C-AB-D 的平面角,cosCFO=. 设 AB=1,则 CF=,OF=,OC=,O 为正方形 ABDE 的中心.如图建立空间直角坐标系,则 E,A,M,N, , cos=, sin=2=3. (2)设 AB 边上的高为 CD,则|=3,即ABC 中 AB 边上的高为 3. 18. (满分 12 分)如图,在长方体 ABCD-ABCD中,AB=2,AD=1,AA=1.证明直线 BC平行于平面 DAC,并求直
14、线 BC 到平面 DAC 的距离. 解如图, 建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为 A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1),C(0,2,0),D(0,0,0). 设平面 DAC 的法向量 n=(u,v,w), 则 n,n. 因为=(1,0,1),=(0,2,1),n=0,n=0, - 10 - 所以 解得 u=2v,w=-2v.取 v=1,得平面 DAC 的一个法向量 n=(2,1,-2).因为=(-1,0,-1), 所以 n=0,所以 n. 又 BC不在平面 DAC 内, 所以直线 BC与平面 DAC 平行. 由=(1,0,0),得点 B 到平面 DAC 的距离 d=, 所以
15、直线 BC到平面 DAC 的距离为. 19.(满分 12 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PB底面 ABC,BCA=90,PB=BC=CA=2,E 为 PC 的中点,点 F 在 PA 上,且 2PF=FA. (1)求证:BE平面 PAC; (2)求直线 AB 与平面 BEF 所成角的正弦值. 解(1)PB底面 ABC,且 AC底面 ABC, ACPB. 由BCA=90,可得 ACCB. 又 PBCB=B,AC平面 PBC. BE平面 PBC,ACBE. PB=BC,E 为 PC 的中点,BEPC. PCAC=C,BE平面 PAC. (2) 以点 B 为坐标原点,BC 所在直线为 x 轴,BP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 B(0,0,0),C(2,0,0),A(2,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1),. 设平面 BEF 的法向量为 m=(x,y,z), - 11 - 由 m=0,m=0,得x+y+z=0,x+z=0. 取 x=1,则 y=1,z=-1,m=(1,1,-1)为平面 BEF 的一个法向量. 又=(-2,-2,0), cos=-, 直线 AB 与平面 BEF 所成角的正弦值为. 20.(满分 12 分)
