《2019数学新设计北师大选修2-1精练 第三章 圆锥曲线与方程 习题课3 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019数学新设计北师大选修2-1精练 第三章 圆锥曲线与方程 习题课3 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 - 习题课习题课直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的综合问题 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.直线 y=x+b 交抛物线 y= x2于 A,B 两点,O 为抛物线顶点,OAOB,则 b 的值为( ) A.-1B.0C.1D.2 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),将 y=x+b 代入 y= x2,化简可得 x2-2x-2b=0,故 x1+x2=2,x1x2=-2b,所以 y1y2=x1x2+b(x1+x2) +b2=b2.又 OAOB,所以 x1x2+y1y2=0,即-2b+b2=0,则 b=2 或 b=0,经检验 b=0 时,不满足 OAOB,故 b=2. 答案
2、:D 2.(2016全国丙高考)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:=1(ab0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左、右顶点, P 为 C 上一点,且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点, 则 C 的离心率为( ) A.B.C.D. 解析:由题意,不妨设直线 l 的方程为 y=k(x+a),k0,分别令 x=-c 与 x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设 OE 的中点为 G, 由OBGFBM,得, 即,整理,得, 故椭圆的离心率 e=,故选 A. 答案:A 3.已知双曲线=1(a0,b0)的渐近线
3、均和圆 C:x2+y2-6x+8=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该 双曲线的方程为( ) A.=1B.=1 C.-y2=1D.x2-=1 解析:圆 C:x2+y2-6x+8=0 可化为(x-3)2+y2=1, - 2 - 圆心为(3,0),半径为 1. 双曲线=1(a0,b0)的渐近线方程为 y=x. 双曲线的渐近线与圆 C 相切,=1. 又双曲线的右焦点为圆 C 的圆心, c=3.结合 c2=a2+b2解得 b=1,a=2. 双曲线的方程为-y2=1.故选 C. 答案:C 4.已知双曲线=1(a0,b0)与直线 y=2x 有交点,则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.(1,
4、)B.(1,)(,+) C.(,+)D.,+) 解析:直线 y=2x 必过原点,要使直线与双曲线有交点,则双曲线渐近线的斜率|k|2,即 2,则有4,所以 e2= 5,所以 e.故选 C. 答案:C 5.若过椭圆=1 内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是 . 解析:设弦两端点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1,两式相减并把 x1+x2=4,y1+y2=2 代入得,=- .所求直线的方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0 6.过原点的直线 l 与双曲线 C:=1(a0,b0)的左、右两支分别相交于 A,B 两点,F(
5、-,0)是双曲线 C 的左 焦点,若|FA|+|FB|=4,=0,则双曲线 C 的方程为 . 解析:,FAFB, AFB 为直角三角形. - 3 - 过原点的直线 l 与双曲线 C:=1(a0,b0)的左、右两支分别相交于 A,B 两点,F(-,0)是 双曲线 C 的左焦点,|AB|=2. 设|FB|=x,则|FA|=4-x, x2+(4-x)2=12,x2-4x+2=0, x=2,|FB|=2+,|FA|=2-, 2a=|FB|-|FA|=2,a=,b=1, 双曲线 C 的方程为-y2=1. 答案:-y2=1 7.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 为抛物线上一点,且=
6、-4,则点 A 的坐标为 . 解析:设 A,则, F(1,0),. =-=-4. 整理得,+12-64=0,=4,即 y0=2. 点 A 坐标为(1,2). 答案:(1,2) 8.焦点分别为(0,5)和(0,-5)的椭圆截直线 y=3x-2 所得弦的中点的横坐标为 ,求此椭圆的方程. 解设椭圆的方程为=1(ab0),且 a2-b2=(5)2=50, 由消去 y,得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0. 设弦两端点的横坐标分别为 x1,x2,则 x1+x2=. - 4 - ,即 a2=3b2, 此时 0.由得 a2=75,b2=25, 椭圆的方程为=1. 9.抛物线 y2=x
7、上存在 P,Q 两点关于直线 y-1=k(x-1)对称,求 k 的取值范围. 解设 P(x1,y1),Q(x2,y2), -,得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, y1+y2=-k. -1=k =(y1+y2)2-2y1y2-2. -k-2=kk2-2y1(-k-y1)-2, 2k+2k2y1+k3-k+2=0, =4k4-8k(k3-k+2)0, k(-k3+2k-4)0,k(k3-2k+4)0),则 =1,所以抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1.由消去 y,整理得 x2-4kx-4=0, 所以 x1+
8、x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4. - 5 - 由解得点 M 的横坐标 xM=.同理,点 N 的横坐标 xN=. 所以|MN|=|xM-xN|=8. 令 4k-3=t,t0,则 k=. 当 t0 时,|MN|=22. 当 t0),O 为抛物线的顶点,OAOB,点 A 在 x 轴上方,则ABO 的 面积是( ) A.8p2B.4p2C.2p2D.p2 解析:由抛物线的对称性及 OAOB 知直线 OA 的方程为 y=x,由得 A(2p,2p),则 B(2p,-2p),所以 |AB|=4p,所以 SABO= 4p2p=4p2.故选 B. 答案:B 2.抛物线 y=2x2上两点 A
9、(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1x2=- ,则 m 等于( ) A.B.2C.D.3 解析:依题意知 kAB=-1, 而 y2-y1=2(), x2+x1=-,且在直线 y=x+m 上,即+m,y2+y1=x2+x1+2m, - 6 - 2()=x2+x1+2m,2(x2+x1)2-2x2x1=x2+x1+2m,2m=3,m=. 答案:A 3.已知两直线 x=1 分别过椭圆=1 的两个焦点,则直线 y=kx+2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是 . 解析:由题意知椭圆的焦点坐标为(,0),两直线 x=1 分别经过椭圆的两个焦点,4-b2=1,b2=3.椭 圆
10、方程为=1.直线 y=kx+2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是将直线方程与椭圆方程联立后,所得一 元二次方程的判别式 0,即方程(4k2+3)x2+16kx+4=0 的判别式 162k2-16(4k2+3)0,即 k2 ,- k . 答案:- k 4.设 F1,F2分别是椭圆+y2=1 的左、右焦点,若 P 是该椭圆上的一个动点,则的最大值和最小值分别 为 . 解析:易知 a=2,b=1,c=,所以 F1(-,0),F2(,0),设 P(x,y),则=(-x,-y)(-x,-y)=x2+y2-3=x2+1- 3= (3x2-8),因为 x-2,2,故当 x=0,即点 P 为椭圆的短轴端点时,
11、有最小值-2.当 x=2,即点 P 为椭圆的 长轴端点时,有最大值 1. 答案:1,-2 5.已知 F 是双曲线 C:x2-=1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6).当APF 周长最小时,该三角形的面积 为 . 解析:设双曲线的左焦点为 F1,如图. 由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|, APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|). 由于 2a+|AF|是定值,要使APF 的周长最小,则应使|PA|+|PF1|最小,即 P,A,F1三点共线. - 7 - A(0,6),F1(-3,0),
12、 直线 AF1的方程为=1,即 x=-3. 将其代入 x2-=1 得 y2+6y-96=0, 解得 y=2或 y=-8(舍去), 因此点 P 的纵坐标为 2. SAPF= =|F1F|yA-|F1F|yP =6662=12. 答案:12 6.已知椭圆+y2=1,求斜率为 2 的弦的中点轨迹方程. 解设直线与椭圆相交所得弦为 AB, A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为 M(x,y), 则 两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0.因此=-=-=2, 所以 x+4y=0, 由题意知点 M(x,y)落在椭圆内部, 则有+y20). (2)当直线 AB
13、的斜率不存在时, 设直线 AB 的方程为 x=x0, 此时 A(x0,),B(x0,-),=2. 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b,代入双曲线方程=1 中,得(1-k2)x2-2kbx- b2-2=0, 依题意可知方程有两个不相等的正数根, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 得|k|1, =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b) =(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2 =2+2. 综上可知的最小值为 2. 8.导学号 90074087已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20)是抛物线 y2=2px(p0)上的
14、两个动点,O 是坐标 原点,向量满足|=|.设圆 C 的方程为 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0. (1)求证线段 AB 是圆 C 的直径; (2)当圆 C 的圆心到直线 x-2y=0 的距离的最小值为时,求 p 的值. (1)证明因为|=|, 所以()2=()2, 即+2-2, 整理,得=0,所以 x1x2+y1y2=0. 设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点, - 9 - 则=0, 即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 展开上式并将式代入, 得 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0. 从而可知线段 AB 是圆 C 的直径. (2)解设圆 C 的圆心坐标为(x,y),则 因为=2px(p0),=2px2(p0), 所以 x1x2=. 由(1)知 x1x2+y1y2=0,所以 x1x2=-y1y2, 所以-y1y2=. 因为 x1x20,所以 y1y20,所以 y1y2=-4p2. 所以 x=)=+2y1y2)-(y2+2p2), 所以圆心的轨迹方程为 y2=px-2p2. 设圆心 C(x,y)到直线 x-2y=0 的距离为 d, 则 d=. 当 y=p 时,d 有最小值,由题设得, 所以 p=2.
