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1、第三章 经典单方程计量经济学模型： 多元回归,多元线性回归模型 多元线性回归模型的参数估计 多元线性回归模型的统计检验 非线性回归模型,3.1 多元线性回归模型,一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定,一、多元线性回归模型,一般表现形式(总体回归模型）：,i=1,2,n,其中:k为解释变量的数目，参数个数为k+1,n为观察次数。j(j=1,2,k)称为回归系数 (regression efficient）。, j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化;,或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变
2、量）影响。,总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为:,.,其中:,样本回归函数：用来估计总体回归模型,其随机表示式:,ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项i的估计值。 样本回归函数的矩阵表达:,或,其中：,二、多元线性回归模型的基本假定,假设1, 回归模型是正确设定的 假设2，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。 假设3，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性,假设4，解释变量与随机项不相关,假设5，随机项满足正态分布,上述假设为多元线性回归模型的经典假设,3.2 多元线性回归模型的估计,一、普通最小二乘估计 二、参数估计
3、量的性质 三、样本容量问题,一、普通最小二乘估计,根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解 :,其中,i=1,2,n,于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：,正规方程组的矩阵形式,即,由于XX满秩，故有,将上述过程用矩阵表示如下：,即求解 方程组：,于是：,例3.1 求下列模型的参数估计量，,观察值：,2 1 1 1 1 2 3 2 1 2 2 2,随机误差项的方差的无偏估计量为,二、参数估计量的性质,在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计仍具有： 线性性、无偏性、有效性,三、样本容量问题,所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所
4、要求的样本容量的下限。, 最小样本容量,样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即 n k+1 因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1,2、满足基本要求的样本容量,从统计检验的角度： n30 时，Z检验才能应用； n-k8时, t分布较为稳定,一般经验认为: 当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。,模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明,3.3 多元线性回归模型的统计检验,一、拟合优度检验 二、方程的显著性检验(F检验) 三、变量的显著性检验（t检验）,一、拟合优度检验,1、可决系数与调整的可决系数,TSS=ESS+RSS,可决系数:,该
5、统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。,问题： 在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量， R2往往增大。 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。 但是，在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少。而且若滥用解释变量还会引起其它严重的问题，影响模型质量。,调整的可决系数,调整的思路是：将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:, 当K=0，, 当K0，,二、方程的显著性检验(F检验),方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。,1、方程显著性的F检验,F检验是对全部
6、自变量进行总的检验，检验这些自变量是否对因变量确有影响。 即：检验真实参数是否在一定置信水平下全部为零。,H0： 1=2= =k=0 H1： j不全为0 j=1，2，k,服从自由度为(k , n-k-1)的F分布,给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1) 来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。,2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论,三、变量的显著性检验（t检验）,方程的总体线性关系显著每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的,因此，必须对每个解释变量进行显著性检验
7、，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。 这一检验是由对变量的 t 检验完成的。,1、t统计量,以cii表示矩阵(XX)-1 主对角线上的第i个元素，于是参数估计量的方差为：,其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:,因此，可构造如下t统计量 ：,2、t检验,H1：i0,给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)， |t| t/2(n-k-1) 拒绝原假设H0 |t|t/2(n-k-1) 接受原假设H0,H0：i=0 （i=1,2k）,当H0成立，, t（n-k-1),例3.2 设某商品需求函数的估计结果为（n=18）：,（ 0.35 ） （0.50）,要求： （1）计
8、算F统计量和调整的可决系数； （2）对参数进行显著性检验； （3）解释回归系数的经济含义。,括号中的数字为对应参数的标准差。,解：（1）,（2）,给定=0.05，, 参数显著不为零,注意： 一元线性回归中，t检验与F检验一致 多元线性回归中，两者是不同的 * 检验对象不同 * 当对参数1，2，k检验均显 著时，F检验一定是显著的 * 但当F检验显著时，并不意味着对每一 个回归系数的t检验一定都是显著的,3.4 非线性回归模型,一、模型的类型 二、几种常见的非线性回归模型,一、非线性回归模型的两种基本类型,1、Yi与1是线性关系，与Xi为非线性关系,2、Yi与1是非线性关系,第一类经适当变换可转
9、化为线性模型，第二类需用非线性最小二乘法,二、几种常见的非线性回归模型,1、多项式模型,设X1 = X，X2 = X2， 则二次曲线变换为 Y = 0+ 1 X1 + 2X2 +,2、倒数模型 双曲线,0,10,10,0,3、对数模型 半对数(增长模型), Y=0+1lnX+ (对数线性模型),0, lnY=0+1X+,若X为年份,则1为年均增长速度。, 双对数模型,lnY=0+1lnX+,4、幂函数模型 Y= aXbe 例：Cobb-Dauglas生产函数 Q = AKLe Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动,方程两边取对数，即为双对数模型： ln Q = ln A + ln K +
10、 ln L+,5、指数函数模型 ,b0,b0,b0,b0,作业：表中所列数据是关于某种商品的市场供给量Y和价格水平X的观察值：, 用OLS法拟合回归直线； 计算拟合优度R2； 确定1是否与零有区别。,分析题:,现有某地近期10个年份的某种商品销售量Y、居民可支配收入X1、该种商品的价格指数X2、社会拥有量X3和其它商品价格指数X4 的资料。根据这些资料估计得出了两个样本回归模型为： 模型1：,模型2：,模型式下括号中的数字为相应回归系数估计量的标准误。又由t分布表和F分布表得知：t0.025（5）=2.57， t0.025（6）=2.45；F0.05（3,6）=4.76，F0.05（4,5）=5.19， 试根据上述资料，对所给出的两个模型进行检验，并选择出一个合适的模型。,
