胡海岩机械振动基础第二章幻灯片

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1、1,第2章 多自由度系统的振动,2,多自由度系统定义,自由度数超过 1 但仍有限的力学系统。 二自由度系统是多自由度系统的最简单情况。,实际中的系统常常很难用单自由度运动来概括，多自由度的情况很多。如飞机在空中的刚体振动就有六个自由度，无法简化。舰船在海中受到波浪激励的响应要包括横摇、纵摇、偏摇、垂荡、纵荡、横荡等多个分量。因此进行多自由度的系统振动分析十分重要。,3,多自由度系统，其运动需要多个独立坐标描述。,如图是一汽车的简化模型，车轮及悬架简化成刚度为 k1 和 k2 的两个弹簧，车体简化成为刚性杆。车体相对于随体坐标系的振动有沿 u 方向的上下运动，也有沿 方向的俯仰运动，一般这两种运

2、动同时发生。这样，系统的运动就要用两个独立坐标 u 和 来描述，这就是一个二自由度系统。若考虑车体左右不等幅颠簸，就变为三自由度系统。,平面内刚性杆的运动描述需两个自由度,4,无限自由度简化为多自由度,简化为带有集中质量的弹性梁,5,2.1 多自由度系统的振动方程,变量耦合的运动方程组,考察图示的二自由度系统:,6,矩阵描述：质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵； 位移向量，激励力向量。,7,基本特征,a. 描述系统特性的 M、K 和 C 不再是三个常数，而是三个常数矩阵; （现象） b. 系统中各自由度的运动是相互关联的，这反映在方程中矩阵 M 、K 和 C 的非对角元素不为零。这种系统运动的相互关

3、联称作耦合。这样的动力学方程组求解比较困难。（本质）,由简至繁：先研究无阻尼系统振动。 （固有振动自由振动受迫振动）,8,2.2 建立系统微分方程的方法（建模）,单自由度系统是和容易通过牛顿定律和达朗贝尔原理建立动力学方程的。但对于自由度数较多的情况，建立正确的微分方程本身就是一件困难的事。需要找到一种规范化、程式化的建模方法。,结构力学刚度法、柔度法 分析力学拉格朗日法,9,刚度法和柔度法,同一种方法的两个视角（影响系数）,刚度法（单位位移法）,考虑系统的弹性静力学性质。在系统各自由度上作用静力，使系统由静平衡位置产生静位移 而 。记这组特殊的静力为 ，其中 是在第 i个自由度上施加的静力。

4、命 ，则共有N 组这样的静力 ，我们称其为系统的刚度（影响）系数。,由于系统是线性的，当第 j 个自由度有静位移 、而其余自由度无位移时，系统诸自由度上应施加一组静力 。一般地，若系统各自由度分别有静位移 ，根据线性系统的可叠加性质知，在系统上施加的静力应为 ：,10,如设 N = 3，则有,如设 , 则有,注意,（材料力学）,11,对于动力学问题，还要考虑系统的惯性和阻尼。 在有限大外力作用的瞬间，系统只产生加速度而来不及产生位移和速度。因此，可定义系统的质量系数 , 是使系统产生加速度 而 需在第 i 个自由度上施加的力。类似地，定义阻尼系数为 ， 是为克服系统阻尼，使系统产生速度 而 需

5、在第 i 个自由度上施加的力。,当系统受动载荷 作用时，根据上述质量系数、阻尼系数、刚度系数的定义和达朗贝尔原理，可写出各自由度上的力平衡关系,12,建立方程的重要条件是系统的状态作用不相耦合与系统的线性特性,13,例3.1.1 建立图示N自由度链式系统的运动微分方程,解：,先计算刚度矩阵,14,刚度矩阵为,15,Diag Diagonal,质量矩阵可用类似的过程得到,16,柔度法,如果系统受外部约束而无刚体运动，系统的柔度系数定义为：在第 j 个自由度上施加单位静力时，第 i 个自由度所产生的静位移。,（单位力法）,其中:,17,当系统受动载荷 作用时，根据达朗贝尔原理和质量系数、阻尼系数的

6、定义，第 j 个自由度相当于受到静力,由柔度系数的定义和线性系统的可叠加性质，第i个自由度的位移是,18,(1) 刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移，人为地增加了确定刚度系数时系统的静不定程度，求解甚繁。一般不用。,(2) 柔度法维持原系统的约束，实施比较方便。特别是用实验来确定系统的弹性性质时均采用柔度法，刚度法几乎不能实现。,(3) 刚度矩阵和柔度矩阵均具有对称性。根据功的互易定理可以证明，这是线弹性系统的一般特性。,两种方法的特点,(4) 如果系统具有刚体运动自由度，则在静力作用下会产生刚体位移。对这样的系统无法按照定义来确定柔度系数，柔度法失效；但刚度法可奏效。所以刚度法的应用

7、范围比柔度法要大。,19,例 用柔度法建立图中系统的运动微分方程。,由上式知，问题在于建立系统的柔度矩阵D。按柔度系数的定义，先在 上作用单位力，这时仅弹簧 提供恢复力，各质量位移均为 ，故,解：,20,再在 上作用单位力，其左面质量 的位移为 ，其余质量位移均为 ，故,依次分析下去得,最后将所得 排为柔度矩阵D。取N=3为例,21,例：梁的横向振动近似计算方程,用集中质量法可将梁系统简化为一个二自由度系统,解：,用单位力法计算柔度系数,22,各个柔度系数为：,柔度矩阵为：,刚度矩阵为：,质量矩阵为：,运动方程：,23,单自由度刚度与质量的能量表示,单自由度刚度与势能关系,单自由度质量与动能关

8、系,24,柔度影响系数与势能,对多自由度系统 位移力与柔度影响系数 推出,25,刚度影响系数与势能,对多自由度系统 位移力与刚度影响系数 推出,26,广义坐标,结构位置（系统运动）的描述可以采用不同的独立坐标广义坐标来完成。若坐标系之间存在线性变换关系，则称坐标系是可以相互线性映射的。,称作线性变换矩阵。,27,多自由度系统的能量,系统的动能 是各质点动能之和,质量矩阵是对称矩阵。对于任意的运动，动能恒正，故质量矩阵总是正定矩阵。,质点的位置矢量:,动能二次型:,其中:,28,在定常约束下，系统的势能仅仅是广义坐标 q 的函数。 将势能 用Taylor级数展开，有,是系统在平衡位置的势能，可以

9、是任意常数。取为零。,是系统在平衡位置的势能对广义坐标的一阶导数。因为系统的势能在平衡位置取极值，故其对广义坐标的一阶导数必为零。,29,上述结论可表达为:,是系统在广义坐标下的刚度系数。研究系统微振动时，只需取势能的二次近似。将刚度系数组成刚度矩阵，则势能可写作,其中:,刚度矩阵 总是对称的。显然，如果系统的刚体运动受到约束而只有弹性变形，势能恒正，从而刚度矩阵正定。但若系统具有刚体运动 ，则有 ，刚度矩阵仅是半正定的。,势能二次型:,30,Lagrange方程方法 (分析力学）,特点: 不用对系统取分离体作受力分析，也不用考虑约束力的影响，而是基于系统的能量来建立系统的运动微分方程。,将系

10、统的约束分为两类，一类是理想约束，其约束反力不作功。刚体的内力、不可伸长的绳索、光滑固定面、光滑铰链等都属于此列。另一类是非理想约束，例如摩擦等。我们将非理想约束的反力与外力归在一起。根据功能原理，外力和非理想约束反力作的元功等于系统总能量的微分，即,31,外力元功:,定常约束系统势能只是广义坐标函数,系统的动能增量,T一般同时是广义位移和速度的函数。,(A),32,对上式两端微分得,由,可推得,(B),由 (B) (A) 得,33,功能原理的具体形式:,这就是系统运动应满足的Lagrange方程。它表明：建立系统运动微分方程时，只要把非理想约束力归入外力，写出能量表达式即可得到系统的运动微分

11、方程。这自然比刚度法和柔度法简单。,根据广义坐标的 独立性，诸 不可能同时为零，,？,由于系统处于运动中，诸 不可能为零（恒不为零）,从而有,34,例3.1.4 用Lagrange方程建立图示系统的运动微分方程。,解: 取系统的广义坐标为图示物理坐标，则该系统 的动、势能分别为,35,代入Lagrange方程,36,例：图中置于光滑平面的小车质量 ，车上质量为 的圆柱体可作无滑动的纯滚动。试建立该系统的运动微分方程。,解：取小车的绝对位移 和圆柱体的绝对位移 为广义坐标。 根据圆柱体对圆心的转动惯量 和纯滚动的转角 ， , 不难写出系统的动能和势能,37,代入Lagrange方程,得系统运动微

12、分方程,矩阵形式为,38,Lagrange方程适用于非线性系统。一般情况下，系统动能与q有关，势能中有q的高次项，广义力中有非理想约束反力，由Lagrange方程导出的系统运动微分方程是非线性的。 为建立线性运动微分方程，可根据微振动前提，命动能表达式中q = 0 并略去势能中q 的二次以上项。,一般线性系统情况下，动能与广义坐标q无关，故Lagrange方程又可以写为：,39,若系统中有线性粘性阻尼力，将它从广义力中分离出来，引入耗散函数（阻尼作功）,或,其中 是粘性阻尼力（耗散力），,为外力。,40,2.3 无阻尼系统的自由振动,2.3.1 二自由度系统固有振动（无阻尼）,41,试探解,实

13、验测试,经验猜测,以某个频率振动，但幅值可能不同,42,该方程组系数矩阵行列式为零，所以方程的非零解有无穷多个 。只能确定振幅之比。,系统可能以两个不同频率同步振动 （固有频率：仅由物理参数确定）,不同频率对应不同（解）振幅关系,43,所以向量,反映了二自由度系统作固有振动时的形态，分别称之为第一阶和第二阶固有振动的振型，或简称固有振型。,44,二自由度无阻尼系统具有两种不同频率的同步自由振动，这两个频率仅取决于原系统的弹性和惯性特性。我们将这两个频率从小到大依次称为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频率，相应的振动分别称为系统的第一阶固有振动和第二阶固有振动。两种不同频率对应了二自由度系统不同

14、的同步振动形态，分别称之为第一阶和第二阶固有振动的振型，或简称固有振型。,振型性质：a. 固有振型反映了二自由度系统作某阶固有振动时两自由度的位移比例关系，它们的固有振动总是同频率的简谐振动，但可能同相或反相。 b. 对任一固有振型和非零实数，其乘积仍是对应固有频率的固有振型，即固有振型只能确定到相差一个实常数因子的程度。,45,几个重要概念,固有模态：无阻尼系统的固有频率和固有振型被称作系统的固有模态 。 模态向量 ：固有振型这一向量也被称作模态向量。,模态：系统的运动模式。（固有模态；自然模态；复模态）,46,例：设图中二自由度系统的物理参数为 . 确定系统的固有振动.,解：将参数代入频率

15、公式，解得系统的两个固有频率分别为,两个固有振动形如,47,思考1：试探解只是可行解之一，引发固有振动要求初始条件,为使系统产生第r阶固有振动，系统初始位移、初始速度必须与该阶固有振型成一定的比例关系。这是有别于单自由度无阻尼系统固有振动的。,思考2：对称系统的模态振型也有对称性？解题时怎么运用？,节点：某阶固有振动中，系统的非约束不动点。,思考,48,2.3.2二自由度系统自由振动,根据线性常微分方程理论可知，线性（二自由度无阻尼）系统的任一自由振动总是这两种固有振动的线性组合 。,49,例：如果上例二自由度系统的运动初始条件为,试确定系统的自由振动。,解：由上例的结果，系统的自由振动应为,其中,50,系统的自由振动为,非周期振动,同向,反向,51,拍现象,中间弹簧非常柔软的情况。此时,则,52,2.3.3 二自由度系统的运动耦合与解耦,例图中刚性车体质量为m，绕质心C的转动惯量为J，试分析系统的运动耦合问题。,53,可