高中数学：122《组合》课件(人教a版选修2-3)(共55张ppt)

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1、高中数学：1.2.2组合课件（人教A版选修2-3）,1.2.2组合,教学目标,1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式； 2.能正确认识组合与排列的联系与区别 教学重点： 理解组合的意义，掌握组合数的计算公式,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,情境创设,问题二,问题一,有 顺 序,无 顺 序,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

2、,排列与组合的概念有什么共同点与不同点？,概念讲解,组合定义:,?,组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.,共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”,不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.,概念讲解,思考一:aB与Ba是相同的排列 还是相同的组合?为什么?,思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,概念理解,构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组

3、合就是其中一个步骤.,思考三:组合与排列有联系吗?,判断下列问题是组合问题还是排列问题?,(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?,(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?,组合问题,组合问题,组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.,1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:,ab , ac , bc,2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合.,ab ,

4、 ac , ad , bc , bd , cd,(3个),(6个),概念理解,从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.,如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:,如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：,概念讲解,组合数,注意： 是一个数，应该把它与“组合”区别开来,1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合,abc ， abd ， acd ，bcd .,b,c,d,d,c,b,a,c,d,练一练,组合,排列,abc bac cab a

5、cb bca cba,abd bad dab adb bda dba,acd cad dac adc cda dca,bcd cbd dbc bdc cdb dcb,（三个元素的）1个组合，对应着6个排列,你发现了什么?,组合数公式,排列与组合是有区别的，但它们又有联系,一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：,第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数 ,第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 ,根据分步计数原理，得到：,因此：,这里m,n是自然数，且 mn ，这个公式叫做组合数公式,概念讲解,组合数公式:,从 n个不同元中取出m个元素的排列数,例1、计

6、算：,（2）列出所有冠亚军的可能情况.,（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙,（1） 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,解：,例题分析,（3）已知： ，求n的值, 35,(2) 120,例3,1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.,思悟小结,（2）同是从n个元素中取m个元素，但是组合 一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序,（1）有序与无序的区别,2.理解组合数的的定义与公式,（1）,（2）,3.10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同 的分工方 法有 种；,组合应用,【练习】,1.用m、n表示,2.从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛，共 有

7、种不同的选法；如果这三个选手又按照不同顺序安排，有 种方法.,例1. 在产品检验中，常从产品中抽出一部分 进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件 正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求， 各有多少种不同的抽法？,解答：,（1）,（2）,（3）,（5）,（6）,1.有10道试题，从中选答8道，共有 种选法、又若其中6道必答，共有 不同的种选法.,2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学 参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种 不同的选法？ （1）无任何限制条件； （2）正、副班长必须入选； （3）正、副班长只有一人入选； （4）正、副班长都不入选； （5）正

8、、副班长至少有一人入选； （5）正、副班长至多有一人入选；,练习：,小结：至多至少问题常用分类的或排除法.,例2 从数字1,2,5,7中任选两个,练习 有不同的英文书5本,不同的中文书7本, 从中选出两本书.,(1)若其中一本为中文书,一本为英文书. 问共有多少种选法?,(1) 可以得到多少个不同的和?,(2)可以得到多少个不同的差?,(2)若不限条件,问共有多少种选法?,6个,12个,35种,66种,例4 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划 右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分 在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?,例3 在

9、MON的边OM上有5个异于O点的点, ON上有4个异于O点的点,以这十个点(含O)为 顶点,可以得到多少个三角形?,练习 如图,在以AB为直径的半圆周上有异于A,B的六个点C1, C2 ,C3 , C4 ,C5 ,C6 , AB上有异于A, B的四个点D1 , D2 , D3 , D4,问 (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形? (2)以图中12个点(包括A,B)中的四个为顶点,可作多少个四边形?,练习（1）求 的值,组合数的性质,（1）,（2）,（2）求满足 的x值,（3）求证：,（4）求 的值,161700,5或2,511,1. 排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的

10、问题有：选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步. 2.理解组合数的性质 3.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.,思悟小结,习题课,组合与组合数,通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义，组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我们将在此基础上，继续学习它们的一些应用,（一）组合数的公式及其性质：,组合数性质1：,2：,特别地：,7,0,1,或5,练习一,（5）求 的值,（1）,（2）,（3）,（4）,511,求证：,例题解读,证明：,因为,左边=,注意阶乘的变形形式：,=左边

11、，,评注：,所以等式成立,练习精选：,证明下列等式 ：,（1）,（2）,例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；,例题解读：,解：（1）根据分步计数原理得到：,种,解析：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种 方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每 份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、 丙三名同学有 种方法根据分步计数原理所以,可得：,例題解读：,因此，分为三份，每份两本一共有15种方法,所以,点评：,本题是分组中的“均匀分组”问题,一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素）,共有,种方法,例16本不同的书，按下列

12、要求各有多少种不同 的选法：,（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本；,解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有 种方法,（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有 种方法,例题解读：,例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本,解：（5）可以分为三类情况：,“2、2、2型” 的分配情况，有 种方法；,“1、2、3型” 的分配情况，有 种方法；,“1、1、4型”，有 种方法，,所以，一共有90+360+90540种方法,例题解读：,元素相同问题隔板策略,例.有10个运动员名额

13、，再分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板， 可把名额分成份，对应地分给个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有_种分法。,将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为,例2、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少 一个，共有多少种不同的分配方法？ （2）10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名 额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？,分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”

14、问题.本小题可 构造数学模型 ，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙， 既有 种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的 指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指 标，以此类推，因此共有 种分法.,例题解读：,（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个， 然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班， 每班至少一个.由（1）可知共有 种分法,注：第一小题也可以先给每个班一个指标，然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行分类，共有 种分法.,例题解读：,例3（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共 有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空

15、 盒的放法有多少种？,解：（1）根据分步计数原理：一共有 种方法；,（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个 “捆绑”在一起看成一个元素有 种方法；第二步：从 四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法，所以， 一共有 144种方法,例题解读,例4马路上有编号为1，2，3，10的十盏路 灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯 关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在 两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的 关灯方法？,解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间 的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数 为 种方法,例题解读：,例5 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ） A24种 B36种 C48 D72种,B,例题解读：,例6甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项