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1、可化为线形的非线性回归模型,一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例 三、非线性普通最小二乘法 四、非线性回归模型举例,i=1,2,n,多元线性回归模型,j表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化。,一元线性回归模型,i=1,2,n,在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。,如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂函数曲线形式:,宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillips cuves）表现为双曲线形式: 。 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归
2、的方法进行计量经济学方面的处理。,x,y,一、模型的类型与变换,1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法,例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线 s = a + b r + c r2 c0 s：税收； r：税率,设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b X1 + c X2 c0,2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法,幂函数模型的一般形式为 可以对其两边取对数将其 化为线性形式 例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q = AKL Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动,方程两边取对数： ln Q = ln A + ln K + ln L,3、
3、复杂函数模型与级数展开法,方程两边取对数后，得到：,(1+2=1),Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入 ：替代参数， 1、2：分配参数,例如，常替代弹性CES生产函数,将式中ln(1K- + 2L-)在=0处展开台劳级数,取关于的线性项，即得到一个线性近似式。,如取0阶、1阶、2阶项，可得,并非所有的函数形式都可以线性化,无法线性化模型的一般形式为:,其中，f(x1,x2,Xk)为非线性函数。如：,此函数模型不能通过变量置换法或函数变换法化为线性，需要采用非线性方法估计其参数。,二、非线性回归实例,例1： 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。,根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为
4、,Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额 P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。,零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变,(*),(*),为了进行比较，将同时估计（*）式与（*）式。,根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数的变化关系:,首先,确定具体的函数形式,对数变换:,考虑到零阶齐次性时,(*),(*),(*)式也可看成是对（*）式施加如下约束而得,因此，对（*）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。,X：人均消费 X1：人均食品消费 GP：居民消费价格指数 FP：居民食品消费价格指数 XC：人均消费（
5、90年价） Q：人均食品消费（90年价） P0：居民消费价格缩减指数（1990=100） P：居民食品消费价格缩减指数（1990=100,中国城镇居民人均食品消费,特征： 消费行为在19811995年间表现出较强的一致性 1995年之后呈现出另外一种变动特征。,建立19811994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:,(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34),按零阶齐次性表达式回归:,（75.86）(52.66) (-3.62),为了比较，改写该式为：,发现与,接近。,意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征,三:非线性普通最小二乘法,在本节中，将给出一种确定非线性函数中拟合系数的通用方法非线性最小二乘法（即Gauss-Newton 法）。, 普通最小二乘法原理,如果随机误差项服从0均值、同方差的正态分布，且无序列相关，则可以从普通最小二乘原理出发，构造模型的估计方法。,对于只有一个参数的非线性模型，,i=1,2,n,如果参数估计值已经得到，则应使得残差平方和,最小。即 (1) 最小。也即是：,现在的问题在于如何求解此非线性方程,谢谢 再见,
