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1、高级计量经济学11,二元选择模型,二元选择,线性回归模型或线性概率模型 y1 事情会发生 y0 事情不会发生 该随机变量的概率分布是 f(y)py（1-p）(1-y) 回归模型如下： y=0+1x1+xk+u,线性概率模型,E(y| x1,xk)= 0+x1+xk 因为y等于0或1 P(y=1|x)= E(y| x1,xk)= 0+1x1+xk 模型刻画的是y1的概率 线性回归模型的缺陷 1）y 的取值有时不在0和1之间 2）方差异方差 3）边际影响不随解释变量的变化而变化,线性概率模型,异方差 边际效果不随解释变量的规模的变化而变化dp/dxii例如1表示其他元素不变，x1增加一个单位，事情
2、发生的概率增加1个单位,LOGIT，PROBIT模型,对于因变量只取0和1的模型，关心的是y1的概率，所以假设 P(y=1|x)=G（0+1x1+xk） G是取值在0和1之间的函数。 前面介绍的线性概率模型假设分布如下： G(z)=0,z1 其他两种常用的函数形式为,LOGIT，PROBIT模型,逻辑函数（LOGIT MODEL） G(z)=exp(z)/(1+exp(z)（z） 该函数是标准逻辑变量的累积分布函数 概率单位模型（PROBIT MODEL）,对二元选择模型的解释,在大部分应用中关心的是xj的变化对P(y=1|x)的影响，边际影响（margin effect） 如果解释变量连续
3、如果解释变量离散，假设x1取值0或1 概率变化很简单，其他量保持不变 G(0+1+2 x2+xk)G(0+2 x2+xk),二元选择模型的解释,例1 p(y=1|x)=G(0+1Z1+2Z21+3LOG(Z2)+ 4Z3) 变量Z1改变一个单位，y=1变化的概率为g(0+1Z1+2Z21+3LOG(Z3)+ 4Z3)（122 Z1） 变量Z2改变一个单位，y=1变化的概率为g(0+1Z1+2Z21+3LOG(Z3)+ 4Z3)（3 /Z2）,二元选择模型的解释,三个二元选择模型的边际影响,二元选择模型的解释,（1）g(z)是密度函数，总是大于0，所以参数的符号为正说明增加发生的概率，为负说明减
4、少发生的概率，但是程度的大小还需要计算。 （2）随着解释变量的变化，密度函数的取值发生变化。对probit模型来说，当z0时，密度值最大大约是0.4，这时选择y1概率50，这时x改变的边际效果最大 （3）另一方面如果z取值非常大（小），这时y1的概率几乎等于1，x的改变的边际效果很小，因为f（z）近似等于0,二元选择模型的解释,LOGIT模型与PROBIT模型和线性概率模型系数的比较（不包括常数项） 因为正态分布密度函数g(0)=0.4,标准逻辑密度函数g(0)=0.25，所以比较他们对概率的影响时把PROBIT模型除以2.5，把逻辑模型除以4可以同线性概率模型的系数进行比较。 或者PROBI
5、T 模型系数乘以1.6与LOGIT模型进行比较,预测y1的概率,P(y=1|x)=G（b0+b1x1+bxk） Y=1如果P0.5 Y=0如果P=0.5,例2,选择公共交通还是开车上班 y1选择开车 解释变量x是（乘公共交通需要的时间开车需要的时间） -0.0644+0.0299Xi X20时 x30时， 预测结果y1,例3,已婚女性是否参加工作的影响因素 抽样调查753个妇女，如果工作work=1 影响因素包括其他的收入；教育程度；结婚前的工作时间；年龄；小于6岁的孩子的个数。,例3,例3,1）三种方法系数符号相同。 2）系数大小比较，逻辑模型乘0.25,probit模型乘0.4。 3）重要
6、的区别是线性概率模型假设边际效应相同，而逻辑模型和概率单位模型假设边际效应递减。,例3,根据线性概率模型，如果增加一个小孩，不管已经有了几个小孩，也不管其他解释变量的取值，参加工作的概率减少26.2%。 根据PROBIT模型，假设取其他解释变量为样本均值，当没有孩子，增加1个时，参加工作概率减少33.4%，如果已经有1个，又增加一个，参加工作概率减少22.5%。 使用PROBIT模型：其他因素不变时，年龄对参加工作概率的边际影响 P(y=1|X)=g(0.27-0.012收入的均值+0.131教育程度均值+0.123工作时间均值-0.0019工作时间均值20.53年龄0.868小孩个数均值)（
7、-0.53）,潜在（latent）模型,假设有一个无法观测到的变量满足传统的线性模型，例如y*表示已婚妇女的参加工作的效用。 y*=0+1x1+xk+u 如果y*0,则y1，否则等于0 假设u满足标准正态分布或标准逻辑分布并且与x独立 p(y=1|x)=p(y*0|x)=p(u-(0+1x1+xk)|x)=1-G(-(0+1x1+xk)= G(0+1x1+xk),潜在模型,如果有明确效用的化，整个PROBIT模型可以写成 y*=0+1x1+xk+u，uN(0,1) y1，如果y*0 y0，如果y*0,估计方法,似然函数 一阶条件,估计方法,广义残差,LOGIT模型的一阶和二阶条件,因为 一阶
8、二阶,拟和优度（1）percent correctly predicted,计算概率G(0+1x1i+xki)如果概率0.5那么估计的y=1,否则等于0，把预测的yi与实际yi匹配的次数占N的比率。,拟和优度 （2）pseudo R-squared,Amemiya （1981） McFadden（1974） L1无约束模型，设计的模型；L0有约束模型，模型中只包括常数项；N样本数，N1样本中被解释变量观测值取1的个数。,拟和优度（3）错判率,模型的错判率 对照模型（只包括常数项）的错判率,推断和识别检验,检验模型中某个系数是否等于0，使用t检验。 检验某几个系数是否等于0 使用WALD检验，L
9、M检验或LR检验 LM=gVg g是无约束模型的一阶条件，在满足约束情况下的取值，V是无约束模型的参数的协方差阵在约束满足情况下的取值,检验,检验是否有忽略掉的解释变量 H0: y*=x+ H1: y*=x+ z + 检验=0 使用LM检验 1）估计零假设成立时的模型 2）估计辅助回归模型 3）计算NR2=拟和值的平方和=N-RSS,(RSS是残差平方和),检验异方差,假设异方差 h（0）1， 对于probit模型，k1 对于logit模型k2/3 常用的假设是指数形式,检验异方差,似然函数 假设 一阶条件,检验异方差,异方差的LM检验 H0:0 检验相当于做如下辅助回归 统计量NR22(J)
10、 R2是没有中心化的可决系数,例题,假设已婚妇女是否参加工作为例,共753人，428人参加工作 P(y=1|X)=G(常数，年龄，年龄的平方，家庭收入，教育，孩子个数) 只包括常数项的似然值 L0325*LN(325/753)+428*LN(428/753) =-514.8732 模型的似然值L1-490.8478 LR=-2(-514.8732-(-490.8478)=48.050722(5)临界值11.07,例题,假设异方差 存在异方差时的似然值-487.6356 LR=2(-487.6356-(-490.8478)=6.424 LM=2.236(使用BHHH) W=6.533 2(2)临界值5.99(1%),
