《2019届高考数学二轮复习大题分层练五解析几何函数与导数A组文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学二轮复习大题分层练五解析几何函数与导数A组文（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 大题分层练大题分层练( (五五) )解析几何、函数与导数解析几何、函数与导数(A(A 组组) ) 1.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点是原点,以 x 轴为对称轴,且经过点 P(1,2). (1)求抛物线 C 的方程. (2)设点 A,B 在抛物线 C 上,直线 PA,PB 分别与 y 轴交于点 M,N,|PM|=|PN|.求直线 AB 的斜率. 【解析】(1)依题意,设抛物线 C 的方程为 y2=ax(a0). 由抛物线 C 经过点 P(1,2),得 a=4,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)由题意作出图象如图所示.因为|PM|=|PN|,所以PMN=PNM,所
2、以1=2,所以直 线 PA 与 PB 的倾斜角互补,所以 kPA+kPB=0. 依题意,直线 AP 的斜率存在且不为零,设直线 AP 的方程为 y-2=k(x-1)(k0), 将其代入抛物线 C 的方程,整理得 k2x2-2(k2-2k+2)x+k2-4k+4=0. 设 A(x1,y1),则 1x1=,y1=k(x1-1)+2=-2,所以 A 2- 4 + 4 2 . 以-k 替换点 A 坐标中的 k,得 B. ( ( + 2)2 2 , - 4 - 2 ) 所以 kAB=-1.即直线 AB 的斜率为-1. 2.已知函数 f(x)=ex-2(a-1)x-b,其中 e 为自然对数的底数. (1)
3、若函数 f(x)在区间0,1上是单调函数,试求实数 a 的取值范围. (2)已知函数 g(x)=ex-(a-1)x2-bx-1,且 g(1)=0,若函数 g(x)在区间0,1上恰有 3 个零点,求实数 a 的取值范 围. 【解析】(1)根据题意,函数 f(x)=ex-2(a-1)x-b,其导数为 f(x)=ex-2(a-1),当函数 f(x)在区间0,1上单 调递增时,f(x)=ex-2(a-1)0 在区间0,1上恒成立, 所以 2(a-1)(ex)min=1(其中 x0,1),解得 a; 2 当函数 f(x)在区间0,1单调递减时,f(x)=ex-2(a-1)0 在区间0,1上恒成立, 所以
4、 2(a-1)(ex)max=e(其中 x0,1),解得 a+1.综上所述,实数 a 的取值范围是 ( - ,3 2 . (2)函数 g(x)=ex-(a-1)x2-bx-1,则 g(x)=ex-2(a-1)x-b,分析可得 f(x)=g(x).由 g(0)=g(1)=0,知 g(x)在 区间(0,1)内恰有一个零点, 设该零点为 x0,则 g(x)在区间(0,x0)内不单调,所以 f(x)在区间(0,x0)内存在零点 x1,同理,f(x)在区间(x0,1)内 存在零 点 x2, 所以 f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点. 由(1)知,当 a时,f(x)在区间0,1上单调递增,故 f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当 a +1 时,f(x)在区间0,1上单调递减,故 f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意;所以0,f(1)=e- 2a+2-b0.由 g(1)=0,得 a+b=e,所以 f= +1-(a+b)=+1-e0,f(1)=2-a0,所以 e-1a2. 综上所述,实数 a 的取值范围为(e-1,2).
