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1、一维弱冲击波速度的变化,姓名：张木 学号：308081184 院系：动力学院,目 录,引 言,由于冲击波阵面相对于波后质点的运动是亚声速的，因此冲击波必须依赖冲击波阵面后方匀速活塞的驱动才能维持定常传播，后方活塞速度的任何变化都将对冲击波的传播速度产生影响。根据冲击波变化方程，冲击波速度随时间的变化由波后介质状态以及波后流场梯度确定。然而，波后流场的解取决于后方活塞边界以及前方冲击波阵面的自然边界，对这种具有未知边界的初边值问题，很难从理论上对流场直接进行求解。,引 言,实际上，对于波速接近于波前声速的弱冲击波而言，其波后参量与相同强度的简单压缩过渡的波后参量相比，仅仅在三阶量以后才存在差异，
2、也就是说，穿过一个弱冲击波时熵的变化和流场Riemann不变量之一的变化都是三阶小量。因此在采用与渐近解相同的近似条件的情形下，可以将冲击波处理为简单压缩波，并且忽略弱扰动在阵面上的反射，这样就可以用简单波解来描述弱冲击波后方的流场，从而研究后方活塞运动对冲击波速度的影响。,简单波近似,考虑一个在声速为C0的静止介质中传播的平面一维弱冲击波，在t=0时刻，后方匀速活塞位于坐标原点x=0处，速度为D0的冲击波阵面位于x=l处，在波阵面与活塞之间的流场是均匀的。假设介质可以用指数为 的多方指数状态方程来描述，并且活塞在t0时的速度由下式确定，,（1）,简单波近似,其中活塞的初始速度可以由冲击波关系
3、给出： 显然活塞运动速度的变化将在均匀区内产生向前的简单波，一旦简单波的波头到达冲击波面，冲击波的速度就会产生相应的变化，并且随后的变化规律将依赖于阵面后方的简单波解。,（2）,简单波近似,如果t时刻介质在x点处的压力、密度、速度和声速分别是p, ,u ,c ，则简单波区的解由以下的方程确定：,（3）,（4）,简单波近似,引入波前Mach数M = (D/ C0)并利用冲击波关系，从(3)式首先可以得到波头速度： 进而不难求出波头到达冲击波阵面的时刻,（5）,（6）,简单波近似,再考虑到活塞速度(1)式，就能够确定(4)式中的待定函数 将上式代入到(4)式即可得到以下关于流场速度的关系:,（7）
4、,（8）,简单波近似,从( 8)式中可以解出简单波区内的速度函数u(x，t)，进而获得流场中各点处的速度梯度，特别是，当简单波波头赶上冲击波阵面以后，就可以导出平面弱冲击波阵面上的速度梯度,（9）,简单波近似,其中 从(9), (10)两式可以看出，当活塞做连续减速运动时，a0，冲击波阵面上的速度梯度始终为正值，并且在足够长的时间之后趋于零。如果活塞突然减速， 则式(9)就给出了在中心稀疏波情形下的阵面速度梯度。当活塞做连续加速运动时，式(9)只能在T0tt0的条件下成立，且此时阵面上的速度梯度为负值。如果t= T0或者活塞突然加速，则在冲击波于活塞之间将形成新的冲击波。,（10）,弱冲击波速
5、度的变化,对于平面一维的惰性冲击波，由守恒方程可以导出如下的冲击波强度变化方程： 其中下标S和H分别表示沿冲击波迹线和Hugoniot线的导数；M是波后Mach数，且有,（11）,（12）,弱冲击波速度的变化,从 (11) 式可以看出，冲击波强度变化的速率与阵面上速度梯度的值反号。由于所有波后参量都可以通过冲击波关系由冲击波速度和波前参量表示，因此在弱冲击波的近似条件下(11)式可以简化为，,（13）,弱冲击波速度的变化,将(9)式代入之后得到如下的弱冲击波速度变化方程， 由于在后方活塞做加速运动和做减速运动时，冲击波阵面上速度梯度随时间的变化规律有明显的不同，因此必须分别对这两种活塞运动求解
6、方程(14)。,（14）,弱冲击波速度的变化,为了简化计算而且不失一般性，可以将时间起点平移到简单波头到达冲击波阵面的时刻，并且在加速活塞和减速活塞的情形中，分别引入一下两个参量来替代(14)式中的T0,（15）,弱冲击波速度的变化,这样，对不同的活塞运动条件。方程(14)分别给出： 加速活塞，a0 减速活塞，a0,（16）,（17）,弱冲击波速度的变化,分别积分以上两式即可获得弱冲击波速度D随时间的变化规律 如果注意到关系式(6)、( 10)和(15)，则从(18)和(19)式可以看出，平面一维弱冲击波速度的变化规律取决于D0、l,、 、C0和a。等流场的初边值条件和介质的特性参数，并且活塞
7、加速度的绝对值越大，冲击波速度随时间的变化就越快。,（18）,（19）,两种近似结果,长时间后的近似解,受扰初期的近似解,两种近似的结果,受扰初期的近似解,在简单波到达冲击波阵面的初期，可以在(18)式和(19)式中分别采用以下近似， 这样，在只保留一阶项的情况下，就可以分别得到弱冲击波阵面在刚开始受到扰动时的速度函数， 加速活塞,（20）,（21）,受扰初期的近似解,减速活塞 显然，当活塞做加速或减速运动时，在受扰初期，弱冲击波阵面做相应的加速或减速运动，并且此时的加速度A和减速度B都是常数。如果考虑到T1和T2的定义式(15)，则从(21)式和(22)式中不难看出，A和B的值正比于弱冲击波
8、阵面的初始速度，并且随活塞加速度的绝对值的增加而增加。,（22）,长时间后的渐近解,对于做加速运动的后方活塞，随着时间t的增加，(18)式将不再满足弱冲击波的近似条件，而且在活塞边界与冲击波阵面之间有可能形成新的冲击波。因此，弱冲击波阵面的速度变化关系(18)式只能在 的时间范围内成立，而参数 的值则取决于理论近似所要求的精度。,长时间后的渐近解,当活塞做减速运动时，在足够长的时间之后，从(19)式可以得到以下渐近解， 上式表明在一阶近似的条件下，在经过足够长的时间之后，弱冲击波速度将趋于波前声速，并且衰减的速度与时间的三分之二次方成反比。此时对(21)式积分可以给出弱冲击波迹线的渐近方程,（
9、23）,（24）,长时间后的渐近解,其中 是在足够长的时间之后冲击波迹线上的某一点。(23)式和(24)式也证实了，当弱冲击波的速度趋于声速时，冲击波的迹线却偏离波前小扰动的迹线越来越远。因此，长时间衰减后的冲击波速度以波前声速为渐近线，而冲击波迹线则没有渐近线。,结 论,对于一个平面一维弱冲击波，可以利用简单波近似来处理波阵面与后方活塞边界之间的流场，这样就可以研究后方活塞边界对弱冲击波速度变化的影响。 在简单波近似的条件下，考虑了后方活塞运动边界，导出了弱冲击波阵面上质点速度的梯度的表达式;利用冲击波变化方程，解出了弱冲击波速度随时间变化的函数。对阵面速度函数的近似分析表明，在受扰初期，冲击波阵面以恒定的加(减)速度运动;在经过足够长的时间之后，弱冲击波阵面的波前Mach数与时间的平方根成反比。,
