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1、24.1 圆的有关性质,第二十四章 圆,24.1.2 垂直于弦的直径,1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）,学习目标,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,导入新课,可以发现：圆是轴对称图形.任何一条直径所在直线都是它的对称轴,讲授新课,问题1 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此
2、你能得到什么结论？你能证明这个结论吗？,问题2 如图,AB是O的一条弦, 直径CDAB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?,线段: AE=BE,O,A,B,D,E,C,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧., CD是直径，CDAB，, AE=BE,推导格式：,温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？,是,不是，因为没有垂直,是,不是，因为CD没有过圆心,垂径定理的几个基本图形：,思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.,平分弦
3、（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理的推论,特别说明： 圆的两条直径是互相平分的.,例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.,解析：连接OA， OEAB，, AB=2AE=16cm.,16,一,例2 如图，O的弦AB8cm ，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.,解：连接OA， CEAB于D，,设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得,解得 x=5，,即半径OC的长为5cm.,x2=42+(x-2)2，,你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?,解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为
4、R.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高., AB=37m，CD=7.23m.,解得R27.3（m）.,即主桥拱半径约为27.3m.,=18.52+(R-7.23)2, AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.,练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_.,2cm或12cm,在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦a，弦心距d，弓
5、形高h，半径r之间有以下关系：,弓形中重要数量关系,d+h=r,1.已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .,5cm,2.O的直径AB=20cm, BAC=30则弦AC= _ .,3.（分类讨论题）已知O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 _ .,14cm或2cm,当堂练习,4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.,解:连接OC.,设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,根据勾股定理，得,解得R=545.,这段弯路的半径约为545m.,拓展提升： 如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .,3cmOP5cm,垂径定理,内容,推论,辅助线,一条直线满足:过圆心;垂直于弦; 平分弦（不是直径）; 平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）,垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧,两条辅助线： 连半径，作弦心距,构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.,基本图形及变式图形,课堂小结,
