排序、均值、柯西不等式

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1、1 / 1 1 排序排序、均值均值、柯西不等式及其应用柯西不等式及其应用 排序不等式、均值不等式、柯西不等式是不等式证明的基本工具，三者各有所长，这里我们先简单回 顾一下三个不等式，然后结合具体题目谈谈它们在不等式证明中的应用。 排序不等式排序不等式： ( i ) 对于两个有序数组则 其中与是 1 ，2 ，n的任意两个排列，当且仅当或 时式中等号成立. ( i i )设,而是的一个排列, 则 当且仅当或时式中等号成立. ( i i i ) 设有组非负数, 每组个数, 它们满足:, 那么, 从每一组中各取 出一个数作积,再从剩下的每一组中各取一个作积, 直到次取完为止, 然后将这些“ 积” 相加

2、， 则所得的诸和中， 以 为最大. ( i v ) 设则 当且仅当, 且时取等号. 平均值不等式平均值不等式：设是 n 个正实数，则有 当且仅当时取等号. 幂幂平均值不等式平均值不等式: 设，则 当且仅当时取等号. 加权幂加权幂平均值不等式平均值不等式 设，则 当且仅当时取等号. 2 / 2 2 柯西不等式： 当且仅当时取等号. 推论推论 11设，则 . 推论推论 22设，则 . 例例 11 （ 第 1 7届 I MO 试 题 ） 已 知为 任 意 实 数 , 且， 又是的任意一个排列，试证：. 证明证明 , 故原不等式等价于, 此式左边为顺序和, 右边为乱序和, 由排序 不等式知其成立. 例

3、例 22( 美国第 3届中学生数学竞赛题)设是正实数, 求证: 证明: 不防设则 据排序不等式有 : 以上两式相加,再两边同加, 整理得: 即 故 例例 33 .,求证: 。 证明证明 左边= 3 / 3 3 . 注: 本题也可以由, 再处理. 例例 44 已知为正实数，且，证明. 证法证法 11原不等式等价于 由柯西不等式，可得 . 证法证法 22 . 由柯西不等式，可得 , , , 为此只需证明. 显然. 证法证法 33令, 等价于 . 4 / 4 4 例例 55 . 设,为的三个内角, 求证: . 证明证明 记, 则, ,同理 , , 三式相加得 , 故. 而由柯西不等式得, . 即.

4、例例 66 （ 中等数学2 0 0 3 . 4 ）已知，求证： ( 1 ) 在原作者提供的解答中，采用分类讨论的方法证明了（1 ）式. 证明很繁. 文 1 借助柯西不等式和不等式 给出了一种简证. 今采用柯西不等式给出一种别证. 证明证明 由柯西不等式知, , 即 ( 2 ) =. 5 / 5 5 题题11( 前苏联第2 2 届数学竞赛试题) 设都是正数,并且,求 的最小值. 题题 22 （2 0 0 1年第一届中国西部数学奥林匹克）设都是正数，并且, 求 的最小值. 题题 33 （2 0 0 6年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题）已知均为正数. ( 1 ) 求证. ( 2 ) 若,求的最小值

5、. 例例 77 已知，则有 。 证明证明 由柯西不等式和均值不等式知, , 即 . 例例 88 ( 1 ) 证明：事实上， （1 ）式等价于 （2 ） 采用增量换元法：证明（2 ）式成立. （2 ）是等价于 . 借助恒等式： 知， （2 ）式等价于 （3 ） 6 / 6 6 对 （2 ） 式作变换：（其中，为 的三边长） ，则有 （4 ） 例例 99 （第三届中国东南地区数学奥林匹克题 6 ) 求最小的实数m，使得对于满足a + b + c =1的任意正实 数a，b，c，都有 解法解法 11 ：当a = b = c时，有 下证不等式 对于满足a + b + c =1的任意正实数a，b，c都成立

6、 因为对于，有 ， 故， 所以， ， ， 把上面三个不等式相加，得 . 所以，m的最小值为 2 7 解法解法 22 ：当a = b = c时，有 下证不等式 对于满足a + b + c =1的任意正实数a，b，c都成立 因为，所以，同理， ， 于是， ， 所以 所以，m的最小值为 2 7 解法解法 33 ： （齐次化） 当a = b = c时，有 7 / 7 7 例例 1 01 0 对任意实数， 试证： 证明：当时，所证不等式显然成立. 当不全为零时，将所证不等式可变形为 令 式中的均可取一切实数（不同时为零即可）. 不妨取变量作为考查对象. （1 ）当时，由，得即 （2 ）当时，将式整理，得

7、 可以为 0 ，当时，不等式显然成立； 当时，因，即或 由得 当时，不等式显然成立； 当时， 即 即解得：或 同理，由，得，对任意实数都满足的 充要条件是：解得 综合以上，可得的取值范围是： 由此可得即所证不等式成立. 说明说明： “ 双判别式法” 可以解决： 的三元二次齐次 不等式的证明问题. 例例 1 11 1 求最大常数, 使对所有正实数成立. 解解 取,有. 又 8 / 8 8 . 故. 例例 1 21 2 对满足的正数，求证. （3 2届 I MO预 选题） 证明：易知时，等号成立. 待定系数，使得， 整理得，两边约去，代入，得， ， 事实上，显然成立. 同理， 三式相加得，. 注 1 ：本题也可尝试基于去掉分母的待定系数法： 待定系数，使得 ， 满足，其中， 解得， ，即， 同理， 三式相加得，. 注 2 ：完全相同的步骤可以解答数学通报2 0 0 2 . 1 2数学问题 1 4 0 3 ： 设且，求最小值. 相关题相关题 11 . ( 2 0 0 3年西部奥林匹克题) 设且, 求证:. 9 / 9 9 . 相关题相关题 22 . ( 中学生数学2 0 0 6年增刊- - 帮你参加全国数学联赛第 7套模拟题)已知为正实数， 且，证明. 注意到，为此只需证明 ，令，则问题转化为： 已知为正实数，且，证明. ，令，则， .