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1、 1 基本不等式中“基本不等式中“1 1 的妙用”的妙用” 一、考法解法一、考法解法 命题特点分析命题特点分析 此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提） ，2、有一个代数式的值已知，求另 一个代数式的最小值，其中两个代数式一个是整式，一个是分式，当然会在此基础上进行变axby mn xy 形。 解题方法荟萃解题方法荟萃 主要是凑出可以使用基本不等式的形式：的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。 yx xy 二、典型题剖析二、典型题剖析 例 1：（1）已知，求的最小值； , x yR21xy 12 xy （2）已知，求的最小值； , x yR23xy 12 xy （3）已
2、知，求的最小值； , x yR 32 2 xy 62xy （4）已知，求的最小值； , x yR2xyxy2xy 【解析】【解析】这四个题目中， （1）是“1 的替换”的最基础题目，已知整式的值为 1，求分式的最小值， （2）是将已知值 变成了 3，需要调节系数， （3）是已知分式的值求整式的最值， （4）对分式进行等价变换。 【答案】【答案】 （1） 121222 (2 )()1452 49 xy xy xyxyyx 当且仅当即时取等号 22xy yx 1 3 xy （2） 121121221 (2 )()1452 43 333 xy xy xyxyyx （）（） 当且仅当即时取等号 22x
3、y yx 1 3 xy （3） 1 3236 62 =()(62 )92186 2 2 yx xyxy xyxy 当且仅当即时取等号 63xy yx 3 2+2 2 2 xy 2 （4）因为，所以，然后 2xyxy 12 1 yx 124 2 =( +2y)(+)=48 xy xyx yxyx 当且仅当即时取等号 4xy yx 24xy 例 2：（1）已知，求的最小值； , x yR1xy 12 13xy （2）已知，求的最小值； , x yR1xy 22 11 xy xy （3）已知，求的最小值； , x yR1xy 12 23xyy （4）已知，求的最小值； , x yR231xy 12
4、3xyy 【解析】【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式， 我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要 分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式； （4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。 【答案】【答案】 （1）整式变形成， 113xy 12112132(1)2 2 (13)()(12)1 135133133 yx xy xyxyxy 当且仅当取等号 32(1) = 13 yx xy
5、 （2） 2222 (1)2(1) 1(1)2(1) 111 1 21 2 111111 xyxxyy xy xyxyxy 11 1 11xy 然后求当时，代数式的最小值 1xy 11 11xy （3）整式变形成，求代数式最小值 235xyy 12 23xyy （4）假设分式变形为的形式，保证 x 的系数与 y 的系数之比等于整式中的系数之比，即 2 ()(3)xyy 3 ，分式变形为 2 =2 +3 ，1, =2 22 223xyy 整式变形为，然后求的最小值。 2234xyy 22 223xyy 例 3：（1）已知，求的最小值； , x yR1xy 12x xy （2）已知， ，求的最小值
6、； 0,1x 12 1xx 【解析】【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式， （1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数，而是的形 2x y 式，因为比较接近我们使用基本不等式的形式，所以对另一个分子替换；（2）中好像是缺了整式，但仔细观察不难 发现，其实分母之和为定值。 【解析】【解析】 （1）当且仅当时取等号 1222 112 2 xxyxyx xyxyxy 2xy yx （2）因为，然后求的最小值 (1)1xx 12 1xx 三、达标与拓展三、达标与拓展 1若正数，满足，则的最小值是（ ） xyxyyx53 yx43 A B C D 5 24 5 28 56 【解析解析】正数，满足
7、， xyxyyx53 1 5 1 5 3 yx ， 5 5 3 3 12 2 5 13 5 3 5 12 5 4 5 9 43 5 1 5 3 43 y x x y y x x y yx yx yx 当且仅当时取等号即的最小值是【答案答案】C.C. y x x y 5 3 5 12 yx43 5 2. 已知均为正实数，且，则的最小值为 , x y32xy 2xy xy 【解析解析】试题分析：， 3232 727 21217 (3 )()6 2222 yxyx xyxyxy xy xyxy 4 当且仅当即时，等号成立，即的最小值是 32 32 xy yx xy 2 61 2 2 3 23 x y
8、 2xy xy 7 6 2 3. 设，若是与的等比中项，则的最小值为（ ） 00，ab33a3b 11 ab A B C D 841 1 4 【解析】【解析】因为是与的等比中项，所以 33a3b1ab 【答案】【答案】B B 1111 ()()2224 ab ab ababba 4已知_. 的最小值是则 ba baba 3a 1 b2 1 , 1, 0, 0 【解析】【解析】令解得 ，（)3a)a2abybxb 5 1 5 2 yx， bba baba aba3a 1 2 1 )3( 5 1 2 5 2 b3 1 2 1 )3(5 )2(2 )2(5 3 2 5 3 b3a5 ba22 25
9、3 5 3 ba ba ba ba ba ba ）（ 5 223 当即取等号. ）（b3a5 ba22 25 3 ba ba )2(23abab 5. 已知实数，满足，则的最大值为 xy134 22 xyyxyx2 【解析】【解析】实数，满足， xy134 22 xyyx ， xyxyyx144 22 2 2 2 2 2 1 12 2 1 12 yx yxyx 解关于的不等式可得，故答案为： yx2 7 142 2 yx 7 142 6. 已知，则取到最小值为 0a 0b 21ab 11 343abab 【解析】【解析】试题分析：令， 2(34 )(3 )(3)(43 )abababab 1
10、31 5 4322 5 11111231 2(3 )34 () (34 )(3 ) 3433435555343 abab abab abababababab 5 ，当且仅当时，等号成立， 322(3 ) 3432 2 553435 abab abab 21 2(3 ) 34 343 ab abab abab 即的最小值是 11 343abab 32 2 5 7.已知正数满足则的最小值为 , x y1,xy 11 112 M xy 【解析】【解析】 11 ()(1)(12y)4 112 Mx xy 则，令，即， 恒成立，由得 4 22 M xy 22txy 11 1 22 yxt 11 (1)1
11、 22 xyxxt0 ， 22 222 2t 44 2 22 222 22 M xy 8. 若正数满足，则的最小值为 . , ,x y z3456xyz 142 2 yz yzxz 【解析】【解析】= 142 2 yz yzxz 163(x z)16 3 22yzxzyzxz 令，则，即， 2,yza xzb2(2)3()345236yzxzxyzab1 32 ab 原式= 1127 ()()3 632323 babba aab 9.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ，当取到最大值时00yx，1 21 yx myx2mm . x 【解析】【解析】恒成立问题，求的最小值，即为“1 的替换” 2xy 答案为： ，； 8 ，2 10. 在边长为 1 的正三角形中，且，则的最小值等于 ABC)00(yxACyAEABxAD， 34 1 xy BECD . 【解析】【解析】这是结合向量来解的一个题目，的最小值为. BECD62 2 11
