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1、每天进步一点点 第 1 页 共 22 页 第第 29 讲讲：不等式：不等式选讲选讲 【考纲解读】【考纲解读】 1理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： a ab ba ab b . a ab ba ac cc cb b . 2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ； ； axbcaxbc|xaxbc 3了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 【考点预测】【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.不等式选讲是历年来高考重点内容之一,在解答题中出现，难度不大，又经常与其它知识 结合，在考查基础知识的同时，考查转化
2、与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的 能力. 2.2016 年的高考将会继续保持稳定,坚持在解答题中考查,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】【要点梳理】 1.1. 含有绝对值的不等式的解法 (1) 或； ( )0()( )f xa af xa( )f xa (2) ； ()( )0( )f xa aaf xa (3)对形如的不等式，可利用绝对值不等式的几何|xaxbcxaxbc, 意义求解 几何意义：几何意义： 两个非常有用的两个非常有用的结论结论： ：1、 |xaxbab 2、 | | |abxaxbab 2含有绝对值的不等式的性质 .ababab 每天进步一点点 第 2 页 共 22
3、 页 3基本不等式 定理 1：设，则.当且仅当时，等号成立。 a bR, 22 2ababab 定理 2：如果为正数，则，当且仅当时，等号成立 ab、2ababab 定理 3：如果为正数，则，当且仅当时，等号成立 abc、 3 3 abc abc abc 定理 4：(一般形式的算术几何平均值不等式)如果 a1、a2、an为 n 个正数，则 ，当且仅当时，等号成立 a1a2an n n a1a2an 12n aaa 4、不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等 5、柯西不等式 （1）柯西不等式的代数形式：设为实数，则，当, , ,a b c d 22222
4、 ()()()abcdacbd 且仅当时等号成立。 adbc （2）、二维形式的柯西不等式的变式 bdacdcba 2222 ) 1 (.),(等号成立时当且仅当bcadRdcba bdacdcba 2222 )2(.),(等号成立时当且仅当bcadRdcba .),0,()()()(3( 2 等号成立，时当且仅当bcaddcbabdacdcba （3）二维形式的柯西不等式的向量形式 .),( .等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当kk 借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对， 222 + + abc 并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了。 2222
5、22 1 (111 )(+ + ) 3 abc 技巧：应用柯西不等式关键是分析、观察所给式子的特点，从中找出柯西不等式的必备形 式特点及等号成立的条件 每天进步一点点 第 3 页 共 22 页 考点考点 1 1 含绝对值不等式的解法含绝对值不等式的解法 例例 1 1、【2016 高考新课标全国 1 卷第 24 题】 （本小题满分 10 分）,选修 45：不等式选讲 已知函数。 123f xxx （I）在答题卡第（24）题图中画出的图像； yf x （II）求不等式的解集。 1f x 例例 2 2、设。 ,()f xxaaR （1）当，解不等式； 5a ( )3f x （2）当时，若，使得不等式
6、成立，求实数m的取1a xR (1)(2 )1 2f xfxm 每天进步一点点 第 4 页 共 22 页 值范围。 考点考点 2 2 不等式的证明不等式的证明 例例 3 3、已知函数，且的解集为。 |( )2|f xmxmR，2()0f x1,1 (1)求的值； m (2)若，且，求证：。 abcR + ， 111 23 m abc 239abc 例例 4 4、已知为正实数， , a b （1）若，求的最小值； 2ab 14 11ab （2）求证：。 2222 (1)a babab ab 每天进步一点点 第 5 页 共 22 页 考点考点 3 3 不等式综合应用不等式综合应用 例例 5 5、【
7、2013 高考新课标全国第 24 题】选修；不等式选讲 45 设均为正数，且，证明： , ,a b c1abc （I）； 1 3 abbcca （II）。 222 1 abc bca 例例 6 6、【2013 高考新课标全国 I 第 24 题】（选修 45：不等式选讲） 已知函数 ( )212( )|3|f xxxag xx ， （）当时，求不等式的解集； 2a ( )( )f xg x （）设，且当时，求的取值范围。 1a 1 , 2 2 a x ( )( )f xg xa 每天进步一点点 第 6 页 共 22 页 例例 7 7、【2014 高考新课标全国卷第 24 题】设函数。 1 ( )
8、0()f xxxa a a （）证明：； ( )2f x （）若，求的取值范围。 (3)5fa 例例 8 8、【2016 高考新课标全国卷第 24 题】选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 已知函数，为不等式的解集 11 ( ) | 22 f xxxM( )2f x （）求； M （）证明：当时，。 , a bM| |1|abab 每天进步一点点 第 7 页 共 22 页 解：（I） 1 2 , 2 11 ( )1, 22 1 2 ,. 2 x x f xx x x 当时，由得解得； 1 2 x ( )2f x 22,x1x 当时， ； 11 22 x( )2f x 当时，由得解得. 1 2
9、 x ( )2f x 22,x 1x 所以的解集. ( )2f x | 11Mxx 例例 9 9、【2016 高考新课标全国 III 卷第 24 题】选修 4 -5：不等式选讲 已知函数。 ( ) |2|f xxaa （I）当时，求不等式的解集；来源:学科网 2a ( )6f x （II）设函数当时，求的取值范围。 ( ) |21|g xxxR( )( )3f xg xa 例例 1010、【2015 高考新课标全国 I 第 24 题】已知函数 ( )12|0f xxxaa， （）当时，求不等式的解集； 1a ( )1f x 每天进步一点点 第 8 页 共 22 页 （）若的图象与轴围成的三角形
10、面积大于 6，求的取值范围。 ( )f xxa 练习：练习： 1、（2015秦安县一模）已知函数。 ( )f xxa （1）若不等式的解集为，求实数的值； ( )3f x 1|5xx a （2）在（1）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范( )(5)f xf xmxm 围。 每天进步一点点 第 9 页 共 22 页 2、（2015济宁校级模拟）已知函数。 |( )32f xxxk （）若恒成立，求的取值范围； ( )3f x k （）当时，解不等式：。 1k ( )3f xx 每天进步一点点 第 10 页 共 22 页 3、（2015沈阳一模）设函数。 |( )1|24f xxx （1
11、）解不等式； ( )0f x （2）若对一切实数均成立，求的取值范围。 ( )34f xxmxm 4、（2015呼伦贝尔一模）已知函数， ( )1f xx （1）解关于的不等式； x 2 ( )10f xx （2）若，的解集非空，求实数的取值范围。 ( )3g xxm ( )( )f xg xm 每天进步一点点 第 11 页 共 22 页 5、 【2012 高考辽宁卷第 24 题】已知，不等式的解集为 (1()f xaxaR( )3f x . 21xx ()求 a 的值； ()若恒成立，求的取值范围。 ( )2 ( ) 2 x f xfkk 6、【2014 高考新课标全国 I 第 24 题】若
12、，且。 0,0ab 11 ab ab （I）求的最小值； 33 ab （II）是否存在，使得？并说明理由。 , a b236ab 每天进步一点点 第 12 页 共 22 页 7、（2015江西一模）已知均大于 0。 , ,x y z 求证：； 114 xyxy 求证：。 111222 xyzxyyzzx 8、（2015 秋重庆校级期中）（I）求的解集； 21235|xx （II）设均为正实数，试证明不等式，并说明, ,a b c 111111 222abcbccaab 等号成立的条件。 每天进步一点点 第 13 页 共 22 页 9、【2014 高考辽宁理第 24 题】设函数，记( )211f
13、 xxx 2 (1)816xgxx 的解集为，的解集为。 ( )1f x M( )4g x N （I）求； M （II）当时，证明：。 xMN 2 2 1 ( )( ) 4 x f xx f x 10、（2015哈尔滨校级三模）已知实数满足，且。 , ,a b c0,0,0abc1abc 每天进步一点点 第 14 页 共 22 页 （）证明：； (1)(1)(1)8abc （）证明：。 111 abc abc 11、【2011 高考新课标第 24 题】设函数，其中。 ( )3f xxax0a （）当时，求不等式的解集； 1a ( )32f xx （）若不等式的解集为，求的值。 ( )0f x
14、1|x x a 12、【2013 高考福建卷第 24 题】设不等式的解集为，且 * (|2)|xa aNA 每天进步一点点 第 15 页 共 22 页 。 31 , 22 AA （）求的值； a （）求函数的最小值。 ( )2f xxax 13、【2012 高考新课标第 24 题】已知函数。 ( )2f xxax （1）当时，求不等式的解集； 3a ( )3f x （2）若的解集包含，求的取值范围。 ( )4f xx1,2a 14、（2015江西校级二模）已知。 100abab，, （）求的最小值； 14 ab （）若不等式对任意恒成立，求的取值范围。 21| 14 1| xx ab , a bx 每天进步一点点 第 16 页 共 22 页 15、（2015唐山三模）设。 |(0( )12)faxaxx （I）若，时，解不等式； 1a ( )5f x （）若，求的最小值。 ( )2f x a 16、（2015洛阳三模）已知，。 ( )12|f xxx |()( )1g xxxaaaR （）解不等式；
