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第三节 高阶导数及相关变化率,高阶导数,相关变化率,一、高阶导数,引例:变速直线运动的加速度.,1、高阶导数的概念,定义,记作：,1.二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。,即：,注：,约定:,2.函数 f(x)在点x处具有n阶导数,也常说成 f(x)在 点x处n阶可导,而且当 f(x)在点x处n阶可导时,蕴涵着在x的某邻域内一切低于n阶的导数都是存在且连续的.,2、高阶导数的计算,1)直接法：即由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,例1,解,例2,解,同理可得,注意:,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),注 1)直接法求n阶导数一般适用于阶数不太高,如 n5时.,2)我们用直接法求出了一些高阶导数的基本公 式,应该记住：,例3,解,2)间接法,所谓间接法,即利用已知的高阶导数公式, 通过运算法则, 变量代换等方法, 求出n阶导数., 高阶导数的运算法则,莱布尼兹公式,例4,解,解,解,注：计算高阶导数一般比较麻烦,多使用间接法,使用时,应根据给出的函数先予以化简变成基本公式中的形式(如(2)(3),然后再套用公式计算。,例5,解,例6,解,一般地，,注：应掌握该结论的推导思想！,二、相关变化率,相关变化率问题:,已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?,我们来介绍导数在相关变化率问题中的简单应用.,例7,解,例8,解,
