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1、冲刺“985”优等生拔高讲义（教师版本）专治学霸各种不服导数与函数版快目录问题一 如何灵活应用函数的四大性质1问题二 函数中存在性与恒成立问题20问题三 如何利用导数处理参数范围问题37问题四 函数与方程、不等式相关问题70问题五 利用导数处理不等式相关问题96问题一 如何灵活应用函数的四大性质函数是整个高中数学的核心内容,是高中数学的主线,所有知识均可与函数建立联系,都可围绕这一主线展开学习考查,它贯穿于中学数学的始末,而函数的四大性质更是高考对函数内容考查的重中之重,其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查,而且考查的形式不一,有选择题,填空
2、题,也有解答题；有基础题，也有难度较大的试题.本文将从单调性、奇偶性、单调性与奇偶性和四大性质的综合应用四方面分别加以阐述.一、函数单调性的灵活应用函数单调性的定义：在定义域的一个子集I里,有两个任意自变量 ,当 时,均有 ,则在区间I内单调增.当时,则在区间I内单调减.函数的单调性也可表示为：时单调递增；时单调递减.判断方法：定义法（作差比较；步骤：1.取值 2,作差 3,定号 4,结论）；图象法；单调性的运算性质；复合函数单调判断法则；倒数法；复合函数的单调性：设是定义在M上的函数,若与的单调性相反,则在M上是减函数；若与的单调性相同,则在M上是增函数,简称同增异减.函数单调性的应用：比较
3、大小；解不等式；求取值范围； 求二次函数最值；抽象函数单调性的判断.【例1】如果对定义在上的函数,对任意两个不相等的实数,都有,则称函数为“函数”. 给出下列函数;. 以上函数是“函数”的所有序号为 . 【分析】本题的重点和难点均为对“函数”本质的认识和理解,即如何处理和转化题中所给不等式：,采用合并重组的方法进行处理,得 ,由单调性定义的本质,可以看出“函数”本质上就是个单调递增函数.【解析】因为对任意两个不相等的实数,都有,即总有不等式恒成立,即为函数是定义在R上的增函数,对于,由于与均为R上增函数,则函数在R为增函数；对于,明显先减后增,不符合；对于,因为在R上恒成立,则在R为增函数；对
4、于,如图：当x0为增函数,不符合,故选.【点评】本题主要考查了单调函数的定义和函数单调性的判断（定义法,图像法,导数法）,学生在初步理解时可能有一种无从入手的感觉,如果对函数单调性定义的本质不能领悟的话,则将无法完成此题了,可见在教师的教和学生的学中最终要让学生去理解和领悟知识的本质.【小试牛刀】【2016黑龙江省牡丹江市高三上学期期中】已知函数,若数列满足且是递增数列,则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】根据题意,有,解得,所以实数的取值范围是,故选D二、函数奇偶性的灵活应用函数奇偶性的定义：若函数满足对于定义域的任意x,都有,则函数为奇函数；若函数满足对于定义域的任意x
5、,都有,则函数为偶函数.奇偶性的判断：看定义域是否关于原点对称；看与的关系.函数的奇偶性也可以通过下面方法证明： 是奇函数； 是偶函数奇偶性常见的性质：y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称；若奇函数f(x)在处有意义,则f(0)=0；奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇（设两函数的定义域分别为,要关于原点对称）.【例2】【2016辽宁省五校协作体高三上学期考试】若关于的函数（）的最大值为M,最小值为N,且,则实数的值为 【分析】先把分离常数,得,再由函数奇偶性确定的值【点评】本题对函数奇偶性的考查较为隐蔽,只有通过分
6、离常数,才能看出是一个常数函数与一个奇函数的和,故本题对能力要求较高.【小试牛刀】已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)3x,则f(log94)的值为( )(A)2 (B) (C) (D)2【答案】B【解析】根据对数性质,f(log94)f(log32)因为f(x)是奇函数,于是f(log32)f(log32)f(log3),且log30故f(log94)f(log3).三、函数单调性与奇偶性的综合应用函数的单调性是相对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质,它反映了函数在某区间上函数值的变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质,主要讨论的是函数的对称性
7、函数的这两个基本性质应用灵活、广泛.【例3】【2015江苏扬州高三考试】设是定义在R上的奇函数,且当,若对任意的,不等式恒成立,则实数t的取值范围是 【分析】本题已明确指出是个奇函数,故易求出它的整个解析式（一个分段函数）,此时画出它的图象,就能发现它是一个单调递增函数,难点在于题中所给不等式中,的系数2如何处理？再次仔细观察所求函数的解析式的结构特征,发现满足：,最后结合单调性,转化一个恒成立问题,利用分离参数的方法求出t的范围.【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性,其中奇偶性是一个明条件,单调性是一个隐条件,作出函数的图象易发现它的单调性,这也再次说明数形结合的重要性,本题最后转化成
8、一个恒成立问题,运用分离参数的方法求解的,这正说明函数性质的应用是十分广泛的,它能与很多知识结合,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.【小试牛刀】【2015新课标卷2】设函数,则使得成立的的取值范围是（ ）A B C D【答案】A 【解析】解法一：由可知是偶函数,且在是增函数,所以 ,故选A.解法二：把代入,得,这显然不成立,所以不满足, 由此可排除D；又,所以不满足, 由此可排除B,C,故选A. 四、函数性质的综合运用函数周期性的定义：如果存在一个数a,使得f（x+a）=f（x）记忆方法：括号里面相减等于一个定值a,则f（x）为周期函数,T=a.说明：也是的周期周期性的推广：若,则是周期
9、函数,是它的一个周期若；则周期是2函数对称性：如果存在一个数a,使得f（x+a）=f（a-x）记忆方法：括号里面相加等于一个定值2a,则f（x）为对称函数,对称轴为x=a.对称性的一般结论：（1）若,则图像关于直线对称；(2)与的图像关于直线（即 ）对称.对称性和周期性的结合： f(x)图像关于点（a,0）和(b,0)（ ）对称,则f（x）是周期函数,一个周期为T=； f(x)图像关于直线x=a和x=b（ ）对称,则f（x）是周期函数,一个周期为T=； f(x)图像关于点（a,0）和直线x=b（ ）对称,则f（x）是周期函数,一个周期为T=.【例4】已知定义在R上的函数满足为奇函数,函数关于直
10、线对称,则下列式子一定成立的是（ ）A. B. C. D.【分析】由题中函数满足为奇函数,结合奇函数的定义转化可得：,再由条件：函数关于直线对称,结合对称性的规律可得：,最后由周期性的概念可转化为：,可见函数的周期为8,即可求解.【解析】因为为奇函数,所以,则又因为关于直线对称,所以关于对称,所以,则,于是8为函数的周期,所以,故选B【点评】本题主要考查了学生对抽象函数的处理能力,考查了函数的奇偶性、对称性和周期性,要想顺利完成本题有一个难点：为奇函数的处理,这要对奇函数定义本质有充分的理解,函数的四大性质在抽象函数的考查中往往会综合在一起,这也正是此类题目一般较难的原因,在我们复习备考中一定
11、要加强对所学概念本质的理解,这并非一日之功了,须注意平时的积累和磨炼.【小试牛刀】已知实数,对于定义在R上的函数,有下述命题：“是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点对称”；“是偶函数”的充要条件是“函数的图像关于直线对称”；“是的一个周期”的充要条件是“对任意的,都有”； “函数与的图像关于轴对称”的充要条件是“”其中正确命题的序号是A B C D【答案】A在解决函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助.（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利
12、用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象.【迁移运用】1. 【河南省安阳一中2015届高三月考】已知函数则下列结论正确的是( )A是偶函数 B是增函数C是周期函数 D.的值域为1,)【答案】【解析】作出函数的草图：知：、均不对,只有正确；故选2. 【2016浙江宁波效实中学高三上期中考试】函数是上的单调递减函数,则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】是上的单调递减函数,故选D3. 【广东省惠州一中等六校201
13、5届高三8月联考】定义在R上的奇函数和定义在上的偶函数分别满足,若存在实数,使得成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】当时,01,是奇函数,的值域为-1,1,要使存在实数,使得成立,则-1=1,解得或,故选B.4. 【2016山东省实验中学高三第二次诊断性考试】已知是定义在上的奇函数,当时,若,则实数的取值范围是A B C D【答案】D5.【2016安徽合肥市八中高三上学期第一次段考】已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称,则的值为（ ） A1 B0 C1 D2【答案】B【解析】由已知条件知,函数在定义域R上关于点（0,0）对称,同时关于直线x=1对称,所以
14、函数的周期为T=4又所以易知,所以因此故选B6.已知函数是定义在实数集R上的以2为周期的偶函数,当时,.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点,则实数的值是( ) A或； B0；C0或； D0或.【答案】D【解析】根据已知可得函数,在直角坐标系中作出它的图象,如图,再作直线,可见当直线与抛物线相切时,或者直线过原点时,符合题意,此时或.7. 【2015届河北省“五个一名校联盟”高三教学质量监测】已知定义在R上的函数是奇函数且满足,数列满足,且,（其中为的前项和）,则( )A B C D【答案】C【解析】由定义在上的函数是奇函数且满足知,= =,所以= = = =,所以的周期为3,由得,当n2时,=,所以=,所以=-3,=-7,=-15,=
