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1、冲刺“985”优等生拔高讲义 （教师版本）专治学霸各种不服 平面向量版快 目录 问题一 平面向量基本定理的应用问题2 问题二 平面向量中的范围、最值问题.15 问题三 平面向量解析几何中的应用28 问题四 高考题中向量数量积的若干种求法.53 2 问题问题一一 平面向量基本定理的平面向量基本定理的应应用用问题问题 平面向量问题一直在高中数学中以数学工具的形式出现,它很好的体现了数学知识间 的联系与迁移,具体到平面向量基本定理,又在向量这部分知识中占有重要地位,是向量坐标 法的基础,是联系几何和代数的桥梁,本文从不同角度介绍定理的应用 一、利用平面向量基本定理表示未知向量一、利用平面向量基本定理
2、表示未知向量 平面向量基本定理的内容：如果 1 e, 2 e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任一向量a ,有且只有一对实数1,2使a =1 1 e+2 2 e,平面内选定两个不共线向量为基底, 可以表示平面内的任何一个向量 【例1】如图,平面内有三个向量,OAOBOC ,其中OA 与OB 的夹角为120,OA 与OC 的 夹角为30,且 3 | 2, |, | 2 3 2 OAOBOC ,若(,)OCOAOBR ,则（ ） A. 4,2B. 83 , 32 C. 4 2, 3 D. 34 , 23 来源:Z,xx,k.Com A B C O 【分析】平面向量基本定理实质上是
3、“力的分解原理”,过点C分别作直线的平行线,分,OA OB 别与直线相交,利用向量加法的平行四边形法则和平面向量共线定理将用,OB OAOC 表示,OA OB 【点评】利用平面向量基本定理表示未知向量时,向量加法的三角形法则、平行四边形法则以 及必要的平面几何知识是必要的 3 【小试牛刀】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期期中】在中,若点满足ABCDDCBD2 ,则（ ）AD A B ABAC 3 2 3 1 ACAB 3 2 3 5 C DABAC 3 1 3 2 ABAC 3 1 3 2 【答案】D 【解析】由,得,因此,因此DCBD2ADACABAD2ABACAD 23 ,故答案为DA
4、BACAD 3 1 3 2 二、利用平面向量基本定理确定参数的二、利用平面向量基本定理确定参数的值值、取、取值值范范围问题围问题 平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用 坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题 【例2】【2016届浙江省绍兴市一中高三9月回头考】已知向量满足,OA OB 1OAOB 若为的中点,并且,则的最,( , ,)OAOB OCOAOBR MAB1MC 大值是（ ） A B C D1312513 【分析】首先利用已知条件建立适当的直角坐标系,并写出点的坐标,然后运用向量的坐,A B 标运算计算
5、出点的坐标,再由可得所满足的等式关系即圆的方程,设C1MC , ,将其代入上述圆的方程并消去得到关于的一元二次方程,最后运用判别式t 大于等于0即可得出所求的答案 4 【点评】若题中有互相垂直的单位向量,大多可建立坐标系,转化为代数问题. 【小试牛刀】如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意 一点,设向量 、,APDEAC 【答案】 2 1 5 三、三点共三、三点共线线向量式向量式 设是共线三点,是平面内任意一点,则,其特征是“起点, ,A B CO(1)OBOAOC 一致,终点共线,系数和为1”,利用向量式,可以求交点位置向量或者两条线段长度的比值
6、【例3】如图所示,已知点G是ABC的重心,过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且 ,AMxAB ANyAC ,则 xy xy 的值为 . N M G C B A 【分析】g(x)在区间(2,1)内存在单调递减区间可转化为在区间(2,1)有解, ( ) 0g x 且不是唯一解,参变分离为,只需求右侧函数的最大值,再检验等号 2 ax+ x 6 【点评】本题实质是不等式的有解问题,可先参变分离,转化为求函数的最值问题,但是需注意 因为函数单调是对于某一区间而言的,故还需检验解不是唯一 【小试牛刀】若点M是ABC所在平面内一点,且满足：. 31 44 AMABAC （1）求ABM与ABC的
7、面积之比. （2）若N为AB中点,AM与CN交于点O,设,求的值.BDxBMyBN , x y 解（1）由可知M、B、C三点共线 31 44 AMABAC N A CB O M 如图令BMBCAMABBM ()ABBCABACAB 来源:学*科 即面积之比为1：4 1 (1) 4 ABAC 1 4 ABM ABC S S （2）由 BOxBMyBN 2 y BOxBMBA 4 x BOBCyBN 由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线 4 1 72 6 1 47 y xx x yy 四、平面向量基本定理在解析几何中的四、平面向量基本定理在解析几何中的应应用用 【例4】【2016届安徽省六安一
8、中高三上第五次月考】设双曲线的右 22 22 1 xy ab (0,0)ab 焦点为F,过点F与x轴垂直的直线 交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐l 7 标原点为O,若,且,则该双曲线的渐近线为（ ）OPmOAnOB ( ,)m nR 2 9 mn A B C D 3 4 yx 2 4 yx 1 2 yx 1 3 yx 【分析】过双曲线的右焦点并与轴垂直的直线,与渐近线的交点,0F c x : l xc b yx a 坐标为 , bc A c c 代入向量运算得到点的坐标,再代入双曲线方程求出离心率,从而渐近线方, bc B c c P 程可求 【点评】解析几何中基本量的
9、计算要注意方程思想的应用和运算的准确性. 【小试牛刀】【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官 考试】已知是双曲线（A 22 22 1 xy ab ,）的左顶点,、分别为左、右焦点,为双曲线上一点,是的重心,0a 0b 1 F 2 FG 1 2 FF 若,则双曲线的离心率为（ ） 1 GFA A B C D与的取值有关234 【答案】B 【解析】因为,所以,所以,即,所以, 1 GFA 1 G/ FA 1 1 3 OAOG OFOP 1 3 a c 3 c e a 故选B 8 8 6 4 2 2 4 6 8 1510551015A G F2F1 O P 【迁移运用】 1.如图,在平行四边形中,
10、则（ ABCDaAB bAD NCAN3BN ）(用,表示)a b 来源 A B ba 4 3 4 1 ba 4 1 4 3 C D ab 4 3 4 1 ab 4 1 4 3 【答案】D 【解析】 . 331313 444444 BNBAANBAACBAABADABADab 2设向量,若(tR),则的最小值)20cos,20(sin),25sin,25(cos oooo ba btac 2 ( )c 为（ ） A B.1 C. D.2 2 2 2 1 【答案】D 【解析】由已知得,则,在)20cos25sin,20sin25(cos ttc 2 22 ( )21cctt 对称轴处取到最小值
11、2 1 3.【2016届广西武鸣县高中高三8月月考】直线 过抛物线的焦点,且交抛物 线于两点,交其准线于点,已知,则（ ） A.2 B. C. D.4 9 【答案】C 【解析】过A,B分别作准线的垂线交准线于E,D.因为,所以 ,且,设,则,根据三角形的相 似性可得,即,解得,所以,即 ,所以,选C. 4已知,OA OB 是两个单位向量,且OA OB =0若点C在AOB内,且AOC=30,则 ( ,),OCmOAnOB m nR 则（ ） n m A 1 3 B3 C 3 3 D3 【答案】C 【解析】以原点,向量所在直线为轴,建立平面直角坐标系,因为AOC=30,设OOBOA,yx, 点的坐
12、标为,由得,C) 3 3 ,(xxOBnOAmOCxnxm 3 3 , 3 3 m n 5在ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,则的值为( AN AB AC ) A. B. C. D.1 1 2 1 3 1 4 【答案】A 【解析】M为边BC上任意一点, 可设xy (xy1)AM AB AC N为AM中点, xy.AN 1 2 AM 1 2 AB 1 2 AC AB AC (xy). 1 2 1 2 6. 10 已知,若是以为直角顶点的等腰直角三角baOBbaOAa,),3, 1(AOBO 形,则的面积是（ ）AOB A B2 C D4322 【答案】D 【解析】 因为,所以.设中点为,则 1, 3a 1 32a ABC ,则.在直角三角形中斜边, 1 2 OCOAOBa 2OCa AOB24ABOC 所以.故D正确. 1 4 24 2 AOB S 7.过坐标原点O作单位圆的两条互相垂直的半径,若在该圆上存在一点 22 1xyOAOB、 C,使得（）,则以下说法正确的是（ ）OCaOAbOB abR、 A点一定在单位圆
