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1、1,3.1 杆的纵向振动,研究图3.1.1的均匀直杆，其弹性模量为E，截面积为A，材料密度为 ， 为单位体积重量， u(x,t)表示t时刻截面x的纵向位移。,第三章 连续弹性体的振动,图3.1.1 杆的纵向振动,2,考察x和x+dx两个断面间的微元。断面x的位移为u，轴向力为T，断面x+dx的位移为 ，轴向力为 ，微元的轴向应变为,(3.1.1),(3.1.2),轴向力,考虑微元dx在轴向力及惯性力作用下的平衡,(3.1.3),把(3.1.2)代入(3.1.3)得,3,记 , 得,(3.1.4),(3.1.5),这就是直杆纵向振动的微分方程，用分离变量法求解，设,代入(3.1.4)得,(3.1
2、.6),此式左边与t无关，右边与x无关。若使等式成立，两边应等于同一个常数。欲得振动形式的解，此常数应为负数，记为 ，于是得到两个方程。,(3.1.7),其解为,(3.1.8),4,另一个方程为,(3.1.9),(3.1.12),(3.1.10),(3.1.11),常数C、D及固有频率 由边界条件确定。,例3.1.1：长l的均匀直杆，两端刚性固定。求固有振型和固有频率。,解：边界条件为,u(0,t)=0; u(l ,t)=0,代入(3.1.5)得,(3.1.13),图3.1.2 两端固定杆纵振,5,代入(3.1.11)得,(3.1.14),C=0,在C=0的情况下，D不应为零，否则 ，对应于杆
3、的静止状态不是我们所要的解。由此解出,(3.1.15),j=0对应于杆的静止状态，故不是我们需要的解。由(3.1.10)得固有频率,把C=0及(3.1.15)代入(3.1.11)得固有振型,(3.1.16),(3.1.17),是任意常数。函数 决定了杆作固有振动的形状，而常数因子 只是把此形状放大或缩小若干倍，这和多自由度系统固有振型的情况是一致的。,6,图3.1.3 两端固定均匀直杆的固有振型,振型图上振幅为零的点称为节点（边界点除外）。随着固有振型阶数的增加，节点数也增多。振型增高一阶，节点也增加一个。而且相邻阶数振型的节点是相互交错分布的。这个结论对各种边界条件都成立，而且对横向振动和扭
4、转振动也成立。,7,将(3.1.17)、(3.1.18)代入(3.1.5)得到固有振动为,(3.1.18),中的 已并入常数 或 、 中。整个杆的固有振动以同一个频率 及相同的初相位 按固有振型 作简谐振动。纵向自由振动的全解由固有振动迭加得到,(3.1.19),常数 、 由初始条件确定。 均匀直杆的纵向强迫振动的方程为： 式中 f(x,t) 为直杆的轴向分布激振力。,(3.1.20),8,研究图3.2.1所示圆轴，扭矩和转角 之间的关系为,(3.2.1),3.2 轴的扭转振动,G是剪切模量， 是圆截面的极惯性矩。作用在微段dx两端的扭矩为T及 ，微段上的惯性力矩为 , 是微段的转动惯量。,图
5、3.2.1 轴的扭转振动,9,方程（3.2.2）与式(3.1.4)的形式完全相同，其解可设为为：,对于圆截面微段，可证明 ，代入上式有：,式中 ， 实际上是扭转振动波的传播速度。,(3.2.3),(3.2.4),(3.2.5),(3.2.2),由平衡条件得运动方程为：,则解为：,式中：,10,例3.2.1：求图3.2.2所示带圆盘的圆管的固有频率及固有振型。,(3.2.6),(3.2.7),解：边界条件为 x=0处,x=l处，作用有圆盘的惯性力矩,式中 为圆盘的转动惯量。由(3.2.1)得：,代入(3.2.3) 、(3.2.4)得,图3.2.2 带圆盘的轴的扭转,11,把边界条件(3.2.6)
6、、及上式代入(3.2.5)得：,(3.2.8),(3.2.9),或,其中,(3.2.8)即频率方程，从中可以解出无穷多个 ，进而由(3.1.30)得到固有频率 及由 得到固有振型。,12,13,取坐标系及弯矩、剪力的正方向如图3.2.1所示。在结构力学中已经得到直梁的弯曲微分方程为,(3.3.1),3.3 直梁的横向自由振动,对于振动问题，位移w是坐标x和时间t两者的函数，即w=w(x,t)。因而（3.2.1）中对x的常微分应改为偏微分。对于自由振动，分布的横向力F(x)是作用在梁上的惯性力 ，故（3.3.1）应改为,图3.2.1 直梁的横向弯曲振动,这就是梁横向自由振动的微分方程式。其中E为
7、弹性模量，I 为截面惯性矩，m 是梁单位长度的质量。,(3.3.2),14,(3.3.3),用分离变量法（3.3.2）式,代入（3.3.2）得,(3.3.4),要此算式成立，等式两边必须等于同一个常数，记此常数为 ，于是由上式得两个常微分方程，其一为：,(3.3.5),其解为：,(3.3.6),15,另一个常微分方程为：,(3.3.7),若E、J、m都是常数，（3.3.7）成为,(3.3.8),记,(3.3.9),上式改写为,(3.3.10),其解为,(3.3.11),由边界条件确定。,16,例3.3.1：求两端简支梁的固有圆频率和固有振型。,(3.3.12),解：x=0处扰度，弯矩都为零，即
8、,代入（3.3.11）得,(3.3.13),因此,处边界条件为,(3.3.14),代入（3.3.13）得,(3.3.15),17,存在非零解的条件为,(3.3.16),即 。因 故得到,由此可以得到无穷多个根,(3.3.17),把（3.3.9）代入（3.3.17）得固有频率 。把（3.3.17）代入（3.3.15）的任一个方程，不难看出 。于是由（3.3.13）得固有振型为,(3.3.18),18,简支梁的固有振型如图3.3.2所示。简支梁的固有振动为：,(3.3.20),简支梁的自由振动由固有振动叠加得到：,式中常数 、 由初始条件确定。,图3.2.2 简支梁的固有振型,(3.3.19),1
9、9,例3.3.2： 求全自由梁的固有圆频率和固有振型。,(3.3.21),解：x=0处剪力和弯矩都为零,代入（3.2.11）得,(3.3.22),故,(3.3.23),x=l处边界条件为,(3.3.24),代入（3.2.23）得,(3.3.25),20,非零解的条件为,(3.3.26),化简后为,这就是频率方程，可用作图法或其它任何数值方法求解。图3.2.3画出了 和 的两条曲线，其交点的横坐即为频率方程的根。,图3.3.3 求频率方程的图解法,21,在 处两条曲线相切，此点为频率方程的二重根。它对应于全自由梁的两个刚体运动。刚体平移的振型为：,(3.3.27),和刚体转动的振型：,(3.3.
10、28),把频率方程的根（ ，j=1,2, ） 代入（3.2.25）的任一方程，可得 和 的比值，记为 ，则由（3.3.23）得固有振型为,(3.3.29),为任何常数因子。固有振型如图3.3.4所示。,表3.3.1 均匀全自由梁频率方程的根,22,不难写出梁的其它边界条件。例如，在 处有集中质量M0，右端横截面的剪力为（注意方向）：,(3.3.30),图3.3.4 自由梁的固有振型,当 时，由图3.3.3可看出，频率方程的根和 的根接近，故可用近似公式 ：,23,式（3.3.32）利用了式（3.3.19）的关系，即：,(3.3.31),(3.3.32),它与式（3.3.32）的右边反号。这是因为左端面上的剪力的正向与右端面上的相反。 依照上述方法，不难获得端部有集中弹簧或端部弹性固定端的边界条件。,即边界条件为：,若是梁的左端有集中质量，则边界条件为：,24,3.4 薄平板的弯曲振动 工程中将厚度远小于底面尺寸而形成的扁平形的弹性体称为板，它是工程中一种常见的结构元件。常根据板厚度h与最小边长b之比将板划分为三类：,薄膜：,薄板：,厚板：,船舶结构力学课程中已学习。,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,
