线性回归模型的扩展_1

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1、第七章 线性回归模型的扩展,第一节 变量非线性回归模型 第二节 参数非线性回归模型* 第三节 虚拟解释变量回归模型 第四节 虚拟被解释变量回归模型*,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第2页,前几章所讨论的，都是基于横截面数据的线性回归模型，涉及的变量均是数值变量。实际上，许多经济变量之间并不存在线性关系，建模中涉及的许多变量也不直接表现为数值，而是属于分类变量的范畴。,为了扩大计量经济建模方法的适用范围，本章拟将横截面数据的线性回归建模方法扩展到对非线性关系的分析，并将计量经济模型的变量类型从数值变量扩展到分类变量。,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济

2、教研室,第3页,线性回归分析的前提是作为被解释变量的经济变量与作为解释变量的经济变量之间存在着线性关系。这里所说的线性是指解释变量线性并且参数线性。但是，在众多的经济现象中，分析经济变量之间的关系，根据某种经济理论和对实际经济问题的分析，所建立的经济模型往往不符合上面的线性要求，即模型是非线性的，称为非线性模型(Non-linear Model)。 非线性模型包括两种情况：（1）解释变量非线性，但是参数线性。（2）参数非线性。尤其参数非线性是对古典假定SLR.1和MLR.1的违背，对回归分析影响很大。,本节针对第一种情况进行讨论，常用的变量非线性回归模型包括对数函数模型、双曲线模型和多项式模型

3、。这类模型有一个共同特点，可以利用变量转换等处理方法将模型线性化，线性化后的模型即可采用OLS方法进行参数估计。这类非线性模型被称为内蕴线性模型，或广义线性模型。,第一节 变量非线性回归模型,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第4页,一、对数函数模型,（一）双对数函数模型,回归分析经常使用的对数模型是双对数函数模型(Double-log Model)，考虑如下形式的需求收入模型,(7.2),(7.2）中的参数是以线性形式出现在模型中的，虽然(7.1)中原变量x和y之间是非线性的，但因变量与自变量的对数形式是线性的，因而称双对数函数模型。,对数函数模型的自变量和因变量中，

4、至少有一种是原始变量的对数形式。具体分为以下两种类型：,两边取对数，模型可变换为:,(7.1),2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第5页,实际工作中，双对数模型应用非常广泛，其原因在于，如果忽略误差项,(7.2)是一条直线（y和x都是对数形式），所以它的斜率（1）为一常数,是y相对于x的弹性系数:,所以弹性为一常数。由于这个特殊的性质，双对数模型又称为不变(固定)弹性模型。,对这类模型可作如下代换，令,双对数模型可化为标准线性模型,在古典假定满足的情况下，可以使用OLS对模型进行估计。,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第6页,对于多个解释变量的

5、情形，（7.2）式可以扩展为,（7.3）,称为偏弹性系数。它度量了在其他变量不变的条件下，被解释变量y对于解释变量 的弹性系数。 如著名的柯布道格拉斯（CobbDouglas）生产函数模型 ，就是这类模型的一个典型，我们下面举例说明。,例7-1 表7-1列出了抽样调查得到的某市19个规模以上制造业企业的投入产出数据。试用回归分析法分析企业产出中各要素的贡献及其特点。,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第7页,表71 某市19个规模以上制造业企业的投入产出数据,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第8页,用EViews建立双对数模型，回归结果如下：,

6、样本回归方程为：,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第9页,对样本回归方程解释如下：斜率系数0.3397表示产出对劳动投入的弹性，即表明在资本投入保持不变的条件下，劳动投入每增加一个百分点，平均产出将增加0.3397个百分点。同样地，在劳动投入保持不变的条件下，资本投入每增加一个百分点，产出将平均增加0.8419个百分点。两个弹性系数相加为规模报酬系数，其数值大于1，表明该市经济的特征很可能是规模报酬递增的（如果数值等于1，属于规模报酬不变；小于1，则属于规模报酬递减）。,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第10页,根据单边检验的结果，这两个系数

7、各自均是统计显著的（这是用单边检验，即 ，因为我们预期劳动力和资本对产出影响都是正向的），模型的F值也是高度显著的（因为prob=0.0000），因此能够拒绝零假设：劳动力与资本对产出无影响。R2值为0.995，表明劳动力和资本（对数）的变动解释了大约99.5%的产出（对数）的变动，说明了模型很好地拟合了样本数据。,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第11页,（二）半对数函数模型,线性模型与对数函数模型的混合就是半对数模型(Semi-log Models)。,因变量是对数形式（对数线性模型）：,（7.4）,解释变量是对数形式 （线性对数模型）：,（7.5）,这两个模型的

8、参数是以线性形式出现的，虽然原变量之间是非线性的，但被解释（解释）变量的对数与解释（被解释）变量之间是线性关系，因此，半对数函数模型可以很容易地转换成线性模型，并使用OLS估计参数。,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第12页,对于半对数模型（7.4），显然有,可见， 表示x每变化一个相对单位（变动率）对应的y的平均绝对变动量，所以，半对数函数模型又称增长率模型。（7.4）常用于度量由解释变量相对变动率导致的被解释变量平均变动的绝对数量；（7.5）常用于度量由解释变量绝对量变化导致的被解释变量的平均相对变动率。两个模型中的斜率系数 又被称为半弹性(Semi-elasti

9、city)系数。,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第13页,二、双曲线模型,形如,的模型，称为双曲线模型(Double-curve Model)。该模型刻画了 y与x的反向变动关系,其显著特点是随着 x的无限增大(即 1/x接近于零)， y趋近于 。,令,，原模型可化为线性形式,即可用OLS的方法进行估计。,菲利普斯曲线（Phillips Curve）就是这个模型在经济分析中应用的典型体现。菲利普斯曲线刻画了通货膨胀率与失业率的反向变动关系，如图7-1。,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第14页,失业率与通货膨胀率负向相关，同时通货膨胀率变化

10、有一个渐近底限 。当失业率x趋于无穷大时，通货膨胀率y将取渐近值 。,菲利普斯曲线,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第15页,三、多项式函数模型,多项式回归模型（Polynomial Regression Model）在生产与成本函数分析中被广泛地使用。,如果用y表示成本，x表示产出，则可以建立以下多项式模型，体现微观经济分析中的二者关系：,总成本（TC）：,边际成本（MC）和平均成本（AC）的 PRF为：,（7.8）,即总体回归函数（PRF）为：,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第16页,成本曲线,如果模型的解释变量为时间变量t，多项式函数

11、模型又称为曲线回归模型，常常用于对非线性长期趋势的拟合。,有时为了反映自变量之间的交互影响，也需要用到多项式回归模型。,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第17页,如以y、x、z分别表示单位面积上的粮食产量、施肥量和灌溉用水量。由于施肥量和灌溉用水量对粮食产量的效应之间存在交互影响，所以，可以建立以下模型：,施肥量x对粮食产量y的总边际影响是：,是施肥量对粮食产量的直接效应（假定灌溉用水量不变）， 是施肥量对粮食产量的间接效应，随灌溉用水量的不同而变化，说明肥效的发挥取决于灌溉用水的多少。同样，灌溉用水z对粮食产量y的总边际影响也可以这样分解。显然，该模型比单纯的二元回

12、归模型 更符合实际情况。,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第18页,例7-2 表7-3给出了某市16个企业的产品产量（x）与单位产品成本（y）的抽样调查数据。试研究二者的依存关系。,企业产品产量与单位产品成本数据,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第19页,根据规模经济的原理，产品产量是单位产品成本变化的原因。为了明确二者的具体关系类型，使用EViews的Graph功能，绘制散点图如下：,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第20页,显然，二者的关系不是线性关系。可供选择的模型有以下两种：,双曲线模型：,半对数模型：,分别

13、拟合两种模型，回归结果整理如下：,双曲线模型和幂函数模型的系数均通过了显著性检验，但前者无论是R2还是AIC、SC均好于后者，所以，最终的模型应为双曲线模型：,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第21页,该回归结果说明，单位产品成本随产量的上升而下降，当产品产量趋近于无穷大时，单位产品成本趋近于2489.7元/吨，这就是单位产品成本的理论最低值（实际上是可变成本部分）。,四、Box-Cox变换,在考察被解释变量y和解释变量 的关系时，经常用的两种模型是线性模型,和对数线性模型,事实上，经济学家对被解释变量和解释变量之间的具体的函数关系并不是很清楚的。,2019年4月21

14、日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第22页,由博克斯和考克斯（Box，Cox，1964）引进的Box-Cox变换对于利用样本数据确定函数形式非常有益的。 对一种关系中的所有变量进行某个变换就会得到一个由变换参数决定的函数族，线性和对数线性关系是这个函数族中的两个特例。函数形式最终由估计的变换参数值确定。,我们考虑变量z的下列Box-Cox变换：,时， ；,时， ；,时， ，。,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第23页,对某个特殊的关系式的所有变量都进行Box-Cox变换可得到下列模型,时，这个模型就是双对数模型（7.13）。,时，可得,即,它和线性模型（7.12

15、）是等价的。对于其它的 的值，确定其它的函数形式。,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第24页,也可以进行更一般的变换，它就是每个变量的变换参数不一样。此时变换后得到的模型为,可能有些变量以线性的形式出现（ ，有些变量以对数的形式出现（ ，有些变量以倒数的形式出现（ ， 等等。这样得到的函数族更大些，但是它也给我们估计参数带来困难。,接下来，我们需要做的事情就是利用样本数据估计变换参数 或（ ）以及 ，得到估计的函数形式。一般采用极大似然估计方法估计参数，在此不展开讨论。,2019年4月21日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第25页,五、小结,计量经济模型设定的重要方面是要使所设定的变量间函数形式能够体现变量间的基本关系。总体回归模型是对总体回归函数的描述，总体回归函数正是计量经济要去估计的目标。但其真实的函数形式事先并不知道。所谓模型函数形式的设定，是指根据对变量间相互关系的已有认识，把y的条件期望设定为解释变量x的某种函数。总体条件期望函数 ，可以设定为各种具体的函数形式。在计量经济学的实践中，通常把总体回归函数的具体函数形式设定为初等函数，应当注意的是不同函数形式中参数的经济意义有较大差异。常用的函数形式见课本P217表7-5(课件略）。,2019年4月21日,山东财经大学统计