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1、第一章 非线性振动初步,第三节 受迫振荡 1线性单摆的受迫振动 2. 庞加莱截面 3. 初识单摆的复杂运动,驱动单摆方程 驱动力写成指数 这是非齐次线性微分方程, 其通解是它的齐次线性方程的通解和 它的一个特解的和 1. 齐次方程的通解: 类似线性阻尼单摆，得：,小摆角驱动单摆的通解,1线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆),2. 非齐次方程的特解: 设 求导： 消去公因子,代入,小摆角驱动单摆的通解,1线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆),代入r、j 以后特解为： 非齐次线性微分方程的通解 第一项随时间衰减，经一段时间后第一项将衰减到零，最后仅剩下第二部分 衰减过程常称为过渡过程。,小摆角驱动
2、单摆的通解,1线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆),谐振特性,研究幅频特性： 将分母根号下对频率求导并令其等于零： 共振频率nr小于系统自振频率w， 共振时的最大振幅为： 共振时最大振幅与阻尼有关,共振频率,1线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆),庞加莱截面与庞加莱映射,相图可把非线性系统的状态形象地描绘出来，但是随阻尼力与驱动力的加入，其相图也会变得越来越复杂。例如，即使是弱驱动力与弱阻尼单摆-杜芬方程，相图已复杂多了。 庞加莱在相空间里取一常数坐标截面，称为庞加莱截面，研究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。 在n 维相空间里取一个n-1维面。相轨线通过截面时留下点的一幅图象反映
3、了轨线运行情况。 人们将这种把时间上的连续运动 转变为离散的图象处理方法称为 庞加莱映射。,2.庞加莱映射,单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四个点；推广到无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。,2.庞加莱映射,庞加莱截面与轨线运动,2.庞加莱映射,庞加莱截面与轨线运动,单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。 两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截
4、面上留下两个点； 四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点; 无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。,单摆的三维相空间,2.庞加莱映射,阻尼单摆的运动方程 引入新变量,即相位 ： 可得到描述单摆运动的三维相空间 ,相角j有周期性，把2 np 和2(n+1)p 平面连接起来，相空间扩展为圆环。原来圆形轨线成了在圆环面的环线。取某常数位相，即在该位相处截取一平面，环线在穿过时留下了一个点。,单摆的三维相空间,2.庞加莱映射,它的相图有一个奇怪吸引子(无周期运动)。相轨线绕着该吸引子一圈又一圈地不停地转动，结果相空间的轨线越来越复杂。图中那一团相轨线就是在绕了1000圈后在该
5、吸引子附近的形状。 右下角是庞加莱截面图，图形不仅简单得多，而且显示出某种结构。由庞加莱截面图可见，转子的相轨线尽管极其复杂，但它不是毫无规律的，而是具有某种内在的规律性在内。,受驱转子的运动,2.庞加莱映射,3. 初识单摆的复杂运动,小驱动力单摆,阻尼单摆方程为： 小驱动力作用 作小幅度振动,3. 初识单摆的复杂运动,小驱动力单摆,3. 初识单摆的复杂运动,小驱动力单摆的相轨线方程 是椭圆方程。说明： 1. 在小驱动力下单摆的相轨线是闭合椭圆曲线 2. 说明小驱动力受驱阻尼单摆存在一个周期吸引子。 3. 驱动频率及阻尼力系数为定值时，椭圆的半径驱动力矩 F 增大而增大，(即摆角在增大)。,小
6、驱动力单摆,3. 初识单摆的复杂运动,随着驱动力的增大，相轨线的半径也增大，这就意味着摆角的增大，使得sin的小摆角近似已不再适用,相轨线的表达式将无法得到，此时相轨线只能根据单摆的运动方程，用数值计算来求得。,数值计算结果,下面将给出当1/4，v2/3为定值时，F 由小到大取一系列数值时的数值计算结果。,3. 初识单摆的复杂运动,1. 附近出现对称性破缺 a. 小摆角的对称椭圆在 附近变为蛋形，说明这里发生了对称性破缺； b. 蛋形的朝向与相角的取值有关； c. 这时单摆仍作单周期运动，在庞加莱截面上是一个单点。,数值计算结果,3. 初识单摆的复杂运动,数值计算结果,3. 初识单摆的复杂运动
7、,数值计算结果,3. 初识单摆的复杂运动,数值计算结果,2 F = 1.093 附近做准周期运动： a.当驱动力继续上升时,相轨线偏离闭合的单周期轨道，复杂化起来。 b.在F = 1.093时相图上，相轨线虽在-p,p的单摆势谷来回环绕，但始终无法达到周期重复状态。 c.在庞加莱截面上，相点处于一条曲线上，可以认定系统处于准周期状态（接近正确的周期运动）。 d.庞加莱截面上的图形与所取截面的位置(即相角)有关。,3. 初识单摆的复杂运动,数值计算结果,3. 初识单摆的复杂运动,数值计算结果,3. F = 1.15 附近进入混沌状态 a. 运动已扩展到势谷( )两侧的势谷内。 b. 运动会在一个
8、势谷内绕上几圈，然后随机地进入到相邻的势谷内再绕上几圈，往复不已。 c. 在庞加莱截面上，相点已离开曲线扩散开来。,3. 初识单摆的复杂运动,数值计算结果,3. 初识单摆的复杂运动,数值计算结果,3. 初识单摆的复杂运动,数值计算结果,3. 初识单摆的复杂运动,数值计算结果,3. 初识单摆的复杂运动,结论,综上所述，受驱单摆的运动状态有如下特点： (1) 在小驱动力下，单摆作规则的周期运动。当驱动力矩增加到某临界值时，单摆从周期的运动状态进入随机运动状态，这种状态常被称为混沌。 (2) 混沌状态并不是混乱一片。从相图上看，相轨线的分布虽然弥散开来，但并不均匀地分布到整个区间，而是有疏有密地分布着。在庞加来截面上，起始时相点虽然随机地分布着，然而在足够长的时间以后，一种由相点描绘的内部结构逐步地显露出来。 (3) 这些情况说明，混沌具有非常丰富的内部结构层次。,公转轨道：距土星 1481100 千米 直径：286 千米 (410 260 220) 质量：1.771019 千克,混沌运动的其它例子土卫七的复杂运动,
