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1、Ch.4 线性系统的能控性和能观性,目录(1/1),目 录 概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结,能控规范形和能观规范形(1/3),4.6 能控规范形和能观规范形 由于状态变量选择的非唯一性,系统的状态空间模型具有非唯一性。 若在状态空间的一组特定基底下,系统的状态空间模型具有某种特定形式,则称这种形式的状态空间模型为规范形。 约旦规范形(对角线规范形)就是以系统的特征向量为其状
2、态空间基底所导出的规范形。 从前面讨论中可以看出,一旦把状态空间模型通过线性变换化成约旦规范形,对于状态转移矩阵(t)求解以及状态能控性和能观性分析都是十分方便的。,能控规范形和能观规范形(2/3),下面我们将讨论,通过线性变换将SISO系统的状态空间模型变换成 对于系统的状态反馈设计十分方便的能控规范形和 能简化系统的状态观测器设计的能观规范形。 讨论的主要问题: 基本定义: 能控规范I/II形、 能观规范I/II形 旺纳姆能控规范II形 龙伯格能控规范II形 基本方法: 能控规范形和能观规范形的变换方法,能控规范形和能观规范形(3/3),讲授顺序为: 能控规范形 能观规范形 MIMO系统的
3、能控能观规范形 。,则称该状态空间模型为能控规范I形。,能控规范形(1/16)能控规范形定义,4.6.1 能控规范形 定义 若SISO系统的状态空间模型为,且系统矩阵A和输入矩阵B分别为,能控规范形(2/16)能控规范形定义,若系统矩阵A和输入矩阵B分别为,则称该状态空间模型为能控规范II形。 ,能控规范形(3/16),上述能控规范I形和II型的系统矩阵A分别为前面讨论过的友矩阵的转置和友矩阵。 下面讨论如下两个问题: 能控规范形一定是状态完全能控和 一定存在线性变换将状态能控的状态空间模型变换成能控规范形。,即能控性矩阵的秩都为n。 故能控规范I形与II型必定是状态完全能控的。,能控规范形(
4、4/16),能控规范形一定是状态完全能控? 由状态能控的代数判据,对能控规范I形和II型,有如下能控性矩阵:,能控规范形(5/16),由于线性变换不改变状态能控性,而能控规范形一定状态完全能控, 因此,只有状态完全能控的系统才能变换成能控规范形。 下面讨论将完全能控的状态空间模型变换成能控规范形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题。 对此,有如下对能控状态空间模型变换成能控规范I形和II型的定理。,定理4-24 对状态完全能控的线性定常连续系统(A,B)引入变换矩阵Tc1如下 Tc1=Qc=B AB An-1B 是非奇异的。 那么必存在一线性变换 ,能将上述状态方程变换成能控规范I形:,能控规
5、范形(6/16)-能控规范I形定理,其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控规范I形所定义的。,证明 若取变换矩阵Tc1=Qc,则由,能控规范形(7/16)-能控规范I形定理,有,因此,由系统线性变换和凯莱-哈密顿定理有,能控规范形(8/16)-能控规范I形定理,即证明了变换矩阵Tc1=Qc可将能控状态空间模型变换成能控规范I形。,定理4-25 对状态完全能控的线性定常连续系统(A,B)引入变换矩阵Tc2如下 式中， T1=0 0 1B AB An-1B-1 那么必存在一线性变换 ,能将上述状态方程变换成如下能控规范II形:,能控规范形(9/16)-能控规范II形定理,其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控
6、规范II形所定义的。,Qc的逆矩阵 的最后一行,能控规范形(10/16),证明 证明的思路为:,先构造变换矩阵P的逆为行向量组成,利用变换关系 A=P-1AP,确定 P-1的行之间的关系,利用变换关系B=P-1B,最后确定T1,证明过程为: 设变换矩阵Tc2的逆阵为,能控规范形(11/16),则由 ，可得 代入友矩阵 ,则有,即,能控规范形(12/16),因此,有 Ti=T1Ai-1 i=2,3,n 即能控性变换矩阵Tc2为,能控规范形(13/16),下面讨论T1的计算。由,求转置,并代入向量 ,考虑到对SISO系统T1AiB为标量,则有,即 T1=0 0 1B AB An-1B-1,是非奇异
7、矩阵,即该系统为状态完全能控,因此可以将其变换成能控规范形。,能控规范形(14/16)例4-19,由上述计算过程,可很便利地将能控的状态空间模型转换为能控规范形。 例4-19 试求如下系统的能控规范I和II形:,解 系统的能控性矩阵,能控规范形(15/16),(2) 求能控规范I形。 根据定理4-24,系统变换矩阵可取为,因此,经变换 后所得的能控规范I形的状态方程为,能控规范形(16/16),(2) 求能控规范II形。 计算变换矩阵 先求变换矩阵。根据定理4-25,有 T1=0 1B AB-1=1/2 1/2 则变换矩阵Tc2可取为,因此,经变换 后所得的能控规范形的状态方程为,能观规范形(
8、1/9)能观规范形定义,4.6.2 能观规范形 对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统(A,B,C)的系统矩阵A和输出矩阵C分别为,则称该状态空间模型为能观规范I形；,能观规范形(2/9)能观规范形定义,对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统(A,B,C)的系统矩阵A和输出矩阵C分别为,则称该状态空间模型为能观规范II形。,能观规范形(3/9),由上述定义可知: 能观规范形与能控规范形是互为对偶的,即 能观规范I形与能控规范I形互为对偶, 而能观规范II形与能控规范II形互为对偶。 由对偶性原理可知,能控规范形是状态完全能控的,则其对偶系统能观规范形是状态完全能观的。 由于线性变换
9、不改变能观性,而能观规范形一定状态完全能观,因此,只有状态完全能观的系统才能变换成能观规范形。 下面讨论将完全能观的状态空间模型变换成能观规范I/II形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题，对此,有如下定理。,定理4-26 对状态完全能观的线性定常连续系统(A,B,C)引入变换矩阵To1满足 那么线性变换 ,必能将状态空间模型(A,B,C)变换成能观规范I形:,能观规范形(4/9)-能观规范I形定理,其中系统矩阵 和输入矩阵 如能观规范I形所定义的。,定理4-27 对状态完全能观的线性定常连续系统(A,B,C)引入变换矩阵co2如下 To2=R1 AR1 An-1R1 式中， 那么必存在一线性
10、变换 ,能将状态空间模型(A,B, C)变换成如下能观规范II形:,能观规范形(5/9)-能观规范II形定理,其中系统矩阵 和输入矩阵 如能观规范II形所定义的。,Qo的逆矩阵 的最后一列,能观规范形(6/9)例4-20,由于能观规范形与能控规范形互为对偶,因此,能观规范形变换定理4-26与定理4-27的证明可由能控规范形变换定理4-24与定理4-25的证明直接给出,这里不再赘述。 例4-20 试求如下系统状态方程的能观规范I形与II型,能观规范形(7/9)例4-20,是非奇异矩阵, 即该系统为状态完全能观,因此可以将其变换成能观规范形。,解 由于系统的能观性矩阵,能观规范形(8/9),(1)
11、 求能观规范I形。 根据定理4-26,系统变换矩阵可取为,因此,经变换后所得的能观规范形的状态方程为,能观规范形(9/9),(2) 求能观规范II形。 根据定理4-27,先求变换矩阵，有,则变换矩阵To2可取为,因此,经变换后所得的能观规范II形的状态方程为,MIMO系统的能控能观规范形(1/1),4.6.3 MIMO系统的能控能观规范形 MIMO线性定常连续系统的能控规范形和能观规范形,相比于SISO系统,无论是规范形形式还是构造方法都要复杂一些。 本节从基本性和实用性出发,仅讨论应用较广的 旺纳姆(Wonham)能控规范II形和 龙伯格(Luenberger) 能控规范II形。,旺纳姆能控
12、规范II形(1/1),1. 旺纳姆能控规范II形 下面分别介绍 旺纳姆能控规范II形定义 变换阵Tw的确定,旺纳姆能控规范II形定义(1/3),(1) 旺纳姆能控规范II形定义 对完全能控的MIMO线性定常连续系统 式中，A为维系统矩阵,B为维输入矩阵,C为维输出矩阵。 基于线性非奇异变换 ,可导出系统的旺纳姆能控规范II形为 式中，,旺纳姆能控规范II形定义(2/3),旺纳姆能控规范II形定义(3/3),类似于SISO能控规范形，可以证明 旺纳姆能控规范II形肯定能控， 而且任何状态完全能控的MIMO状态空间模型肯定可以变换成旺纳姆能控规范II形。,变换阵Tw的确定(1/6),(2) 变换阵
13、Tw的确定 类似于SISO的能控规范II形,旺纳姆能控规范II形的变换矩阵也可从能控性矩阵构造,方法如下： 首先,通过列向搜索找出系统能控性矩阵 中n个线性无关列向量。 为此, 将Qc的所有nr个列向量排列成如下形式,变换阵Tw的确定(2/6),类似于SISO的能控规范II形,旺纳姆能控规范II形的变换矩阵从左到右搜索每一个列向量,检验该向量与其左边所有保留下来的线性无关列向量是否线性相关。 若相关则将该向量从队列中剔出,否则保留。 如此,一直搜索到找到n个线性无关列向量为止。 最后将源自Qc的n个线性无关列向量构成矩阵 式中，,变换阵Tw的确定(3/6),因此,有 式中，ei,j为行向量。
14、基于此,变换矩阵Tw可取为,变换阵Tw的确定(4/6)-例4-21,则可将完全能控的状态空间模型变换成旺纳姆能控规范II形。 具体推证过程与SISO能控规范II形的推证过程类似,故略去。 考虑到能控性和能观性之间的对偶关系,利用对偶性原理,可由旺纳姆能控规范形的结论直接导出旺纳姆能观规范形的对应结论。具体过程略。 例4-21 试求如下线性定常连续系统的旺纳姆能控规范II形。,变换阵Tw的确定(5/6),解 由能控性判别矩阵 的秩等于3,该系统状态完全能控,因此该系统可以变换成旺纳姆能控规范II形。 首先,按列向探索方法,找到3个线性无关列b1,Ab1和A2b1。 因此,非奇异矩阵S及其逆矩阵为
15、,变换阵Tw的确定(6/6),故变换矩阵为 即可求得旺纳姆能控规范II形的系统矩阵和输入矩阵,龙伯格能控规范II形(1/1),2. 龙伯格能控规范II形 下面分别介绍 龙伯格能控规范II形定义 变换阵TL的确定,龙伯格能控规范II形定义(1/3),(1) 龙伯格能控规范II形定义 对完全能控的MIMO线性定常连续系统 式中，A为维系统矩阵,B为维输入矩阵,C为维输出矩阵。 基于线性非奇异变换 ,可导出系统的龙伯格能控规范II形为 式中，,龙伯格能控规范II形定义(2/3),龙伯格能控规范II形定义(3/3),类似于SISO能控规范形，可以证明 龙伯格能控规范II形肯定能控， 而且任何状态完全能控的MIMO状态空间模型肯定可以变换成龙伯格能控规范II形。,变换阵TL的确定(1/6),(2) 变换阵TL的确定 类似于SISO的能控规范II形,龙伯格能控规范II形的变换矩阵也可从能控性矩阵构造,方法如下： 首先,通过行向搜索找出系统能控性矩阵 中n个线性无关列向量。 为此,表 将的所有nr个列向量排列成如下形式,变换阵TL的确定(2/6),类似于SISO的能控规范II形,龙伯格能控规范II形的变换矩阵从左到右搜索每一个列向量,检验该向量与其左边所有保留下来的线性无关列向量是否线性相关。 若相关则
