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1、1 与球有关的切、接问题 更新中 简单多面体的外接球、内切球问题是立体几何 中的难点、也是高频考点，此类问题最能有效 考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的 青睐解题的关键是确定球心的位置和解出球 的半径 一、外接球 若一个多面体的各顶点都在同一个球的球面上， 则称这个球是这个多面体的外接球外接球的 球心到多面体的所有顶点的距离都相等 二、内切球 若一个多面体存在内切球， 球心为O， 半径为r， 连接 O 和多面体的各个顶点，得到若干个等高 的小棱锥，则 多面体多面体 1 3 VSr 三、几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， 若球为正方体的外接球，则 2R
2、 3a； 若球为正方体的内切球，则 2Ra； 若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a， b， c，外接球的半径为 R，则 2Ra2b2c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31. 四、典型问题 1已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在 直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体 积为( ) 2 A B 3 4 C D 4 【答案】B 【解析】 由题可知球心在圆柱体的中心，圆柱体上下底 面圆半径 2 2 13 1 22 r ，则圆柱体的体 积 2 3 4 Vr h，故选 B 2体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上， 则该球的表
3、面积为( ) A12 B32 3 C8 D4 【答案】A 【解析】由正方体的体积为 8 可知，正方体的 棱长a2.又正方体的体对角线是其外接球的一 条直径， 即2R 3a(R为正方体外接球的半径)， 所以 R 3， 故所求球的表面积 S4R212 3在封闭的直三棱柱内有一个 111 ABCABC 3 体积为 V 的球，若， ， 则 V 的最大值是( ) A4 B C6 D 【答案】B 【解析】 要使球的体积最大， 必须球的半径 最大由题意知球与直三棱柱的上下底面都相 切时，球的半径取得最大值，此时球的体积 为，故选 B 4已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的 高为 4，体积为 16，则这个球
4、的表面积是( ) A16 B20 C24 D32 【答案】C 【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四 棱柱的高为4， 体积为16， 可求得底面边长为2， 故球的直径为2222422 6，半径为 6， 球的表面积为 24，故选 C 点评：长方体的体对角线的长等于其外接球的 直径设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c， 其外接球的半径为 R，则 2Ra2b2c2 5若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均 ABBC6AB 8BC 1 3AA 9 2 32 3 VR 3 2 33 4439 ( ) 3322 R 4 为 3，则其外接球的体积是_ 【答案】 9 2 【解析】三棱锥的三个侧面两两垂直，且
5、侧棱 长均为 3，则可将三棱锥补形成正方体，从而 外接球的直径为 3，半径为3 2，故所求外接球的 体积 V4 3 (3 2) 39 2 点评： 三条侧棱两两垂直的三棱锥、 正四面体、 四个面都是直角三角形的三棱锥等，可将三棱 锥补形成长方体 结论：球心 O 与截面圆圆心 O的连线垂直于 截面圆；球心 O 与弦中点的连线垂直于弦 6正三棱锥 ABCD 内接于球 O，且底面边长 为 3，侧棱长为 2，则球 O 的表面积为_ 【答案】16 3 【解析】如图， 设三棱锥 ABCD 的外接球的半径为 r， M 为正 BCD 的中心，因为 BCCDBD 3，AB ACAD2， AM平面 BCD， 所以
6、DM1， 5 AM 3，又 OAODr，所以( 3r)21 r2，解得 r2 3 3 ，所以球 O 的表面积 S4r2 16 3 点评： 1.求球的半径的常用公式： R2r2d2 本 题的思路是探求外接球半径的通法，实质就是 通过寻找外接球的一个轴截面圆，把立体几何 问题转化为平面几何问题来研究 2直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角 形外心连线的中点 3正棱锥的外接球的球心在其高上 7若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的 表面积为 S2，则S 1 S2_ 【答案】6 3 【解析】设正四面体棱长为 a，则正四面体表面 积为 S14 3 4 a2 3a2，又可求得正四面体的 高为 6 3
7、 a，且其内切球半径为高的1 4， 即 r 1 4 6 3 a 6 12a，因此内切球表面积为 S24r 2a 2 6 ， 则S 1 S2 3a2 6a 2 6 3 8设正四面体棱长为 a，则其外接球球半径 6 R=_ 【答案】 【解析】 棱长为 a 的正四面体，其高 h 为 6 3 a，其内切球 半径 r 为高的1 4，即 r 6 12a，其外接球半径 R 为高的3 4，即 R= 6 4 a 空间几何体与球接、切问题的求解方法： (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般 过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为 平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何 中元素间的关系求解 (2)若球面上
8、四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA， PB， PC 两两互相垂直， 且 PAa， PBb， PCc，一般把有关元素“补形”成长方体，利 用 4R2a2b2c2求解 9如图是一个空间几何体的三视图，该几何体 的外接球的体积记为 V1，俯视图绕斜边所在直 线旋转一周形成的几何体的体积记为 V2， 则 V1： V2( ) 7 A12 2 B8 2 C6 2 D4 2 【答案】D 【解析】 三视图复原的几何体如图，它是底面为等腰直 角三角形，一条侧棱垂直底面的三棱锥，它的 外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球 8 的直径是 2 2， 该几何体的外接球的体积 V14 3 ( 2)38 2 3
9、 ，V22 1 31 21 2 3，所 以 V1：V28 2 3 ：2 3 4 2 10 如图， 已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1的内切球，则平面 ACD1截球 O 的 截面面积为( ) A 6 6 B 3 C 6 D 3 3 【答案】C 【解析】 平面 ACD1截球 O 的截面为ACD1的内切 圆因为正方体的棱长为 1，所以 ACCD1 AD1 2，所以内切圆的半径 r 6 6 ，所以 S r2 6 36 1 6 9 11已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为
10、( ) A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 【答案】A 【解析】 由于三棱锥 SABC 与三棱锥 OABC 底面都 是ABC， O 是 SC 的中点， 因此三棱锥 SABC 的高是三棱锥 OABC 高的 2 倍， 所以三棱锥 S ABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍 在三棱锥 OABC 中， 其棱长都是 1， 如图所示， SABC 3 4 AB2 3 4 ， 高 OD12 3 3 2 6 3 ， VSABC2VOABC21 3 3 4 6 3 2 6 12已知点 A，B，C，D 均在球 O 上，ABBC 3，AC3，若三棱锥 DABC 体积的最大 值为3 3 4 ，则球 O 的
11、表面积为( ) A36 B16 C12 D16 3 【答案】B 【解析】 10 由题意可得，ABC2 3 ，ABC 的外接圆半 径 r 3，当三棱锥的体积取最大值时，VDABC 1 3S ABC h(h 为点 D 到底面 ABC 的距离)3 3 4 1 3 3 3 4 hh3，设 R 为球 O 的半径，则(3 R)2R2r2R2.故球 O 的表面积为 4 22 16 13已知三棱锥 OABC 的顶点 A，B，C 都在 半径为 2 的球面上，O 是球心，AOB120 ， 当AOC 与BOC 的面积之和最大时，三棱锥 OABC 的体积为( ) A 3 2 B2 3 3 C2 3 D1 3 【答案】
12、B 【解析】 设球 O 的半径为 R， 因为 SAOCSBOC1 2R 2(sinAOCsinBOC)， 所以当AOCBOC90 时， SAOCSBOC取得最大值，此时 OAOC OBOC， OBOAO， 所以 OC平面 AOB， 所以 VOABCVCOAB1 3OC 1 2OA OBsinAOB 1 6R 3sinAOB2 3 3 ，故选 B 14一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的 11 顶点和底面圆周在球 O 的球面上，则该圆锥的 体积与球 O 的体积的比值为_ 【答案】 9 32 【解析】 设等边三角形的边长为 2a， 则 V圆锥1 3 a 2 3a 3 3 a3； 又 R2a2( 3
13、aR)2，所以 R2 3 3 a， 故 V球4 3 2 3 3 a 332 3 27 a3， 则其体积比为 9 32 15(2018 深圳调研)如图所示，在平面四边形 ABCD 中， ABADCD1， BD 2， BDCD， 将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面体 ABCD 的顶点在同 一个球面上，则该球的体积为( ) A 3 2 B3 C 2 3 D2 【答案】A 【解析】 如图，取 BD 的中点为 E，BC 的中点为 O，连 接 AE，OD，EO，AO.因为 ABAD， 12 所以 AEBD 由于平面 ABD平面 BCD， 所以 AE平面 BCD 因
14、为 ABADCD1，BD 2， 所以 AE 2 2 ，EO1 2. 所以 OA 3 2 . 在 RtBDC 中，OBOCOD1 2BC 3 2 ， 所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 O，半径 为 3 2 . 所以该球的体积 V4 3 3 2 3 3 2 . 16已知 A，B，C 三点都在以 O 为球心的球面 上，OA，OB，OC 两两垂直，三棱锥 OABC 的体积为4 3，则球 O 的表面积为( ) A16 3 B16 C32 3 D32 【答案】B 【解析】 13 设球 O 的半径为 R，以球心 O 为顶点的三棱锥 的三条侧棱两两垂直且都等于球的半径 R， 另外 一个侧面是边长为 2R 的等边三角形因此根 据三棱锥的体积公式， 得1 3 1 2R 2 R4 3， R2， S球的表面积42216，故选 B 17 九章算术中，将底面为长方形且有一条 侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个 面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三 棱锥 PABC 为鳖臑，PA平面 ABC，PAAB 2，AC4，三棱锥 PABC 的四个顶点都在 球 O 的球面上，则球 O 的表面积为( ) A8 B12 C20 D24 【答案】C 【解析】 方法一：将三棱锥 PABC 放入长方体中，如 图(1)， 三棱锥
