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1、1.探握确定圆的儿何要素、圆的标准方程与一航方程2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合圆的儿何性质解与圆有关的问题血知识点精讲一、基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合(转迹叫圆.三、基本性质、定理与公式1.圆的四种方程:(CD)圆的标准方程,(x-a广+(y-5=心,圆心坐标为(a.5),半径为r(r0),(3国的参数方程:x+yz=r2(0的参数方程为一c宁s臼0为参数);=7sinb一一Q+FeoS0E(x一2+(y一悬)】=2(0)的参数方程为(0为参数人丶于园咤仙闯颞,往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(a+reos0,5+rsin0)(为
2、参数,(a,0)为圆心,r为半径3,以凑少变量的个数,建立三角函数式,从而把代数间题转化为三角问题,然后利用正弦或余弦函数的有界性求解最值(4圆的直径式方程,英4(x,),8(x,%),则以线段4B为直径的圆的方程是;(x-x)(x-mm)+(y-H)(y-D)=0.点与国的仿罪买系羽斧一一一-CD)点Px,yb)与圆(x-aj+(y-矶=厂的位置关系:当(-aj+-厂时,则点P在圆外;当(-aj+-外=厂时,则点P在圆上;当(a-aj+-5心时,则点P在圆内、(2)点Px,yb)与国志+F+Dr+砂+=0的位置关系:当x+M升卷6巾砂5川0日则炉p在国外;当+口Da+B+F=0时,则点P在国
3、士;当x+Dx+B+F0时,则点P在国内.白题型归纳及思路提示题型118求圆的方程16根据平列条件求圆的方程,一GAABC的三个顶点分别为4(-15),B(-2,C(5.5),求其外接圆的方程(2)经过点4(6,5),B(0.1),昆圆心在直线3xr+10y+9=0上;(3)经过点P(-2,4),0(3,-),东在x轴上截得的弦长等于6.【分析】根据待定系数法求出相应的量即可.【解析(1)解法一,设所求圆的方程为“+y“+Dx+By+户=0,则由题意-D+5E+F+26=0D=-4有:1-2DF2EHRE8=0觞得152口5Z+5E+F+50=0rF=一20故所求圆的方程为+y2-4xr-2y
4、-20=0解法二:由题意可求得AC的中垂线方程为x=2,BC的中垂线方程为x+y-3=0.所以P是两条中垂线的交点(2.0),且半径r=|apl=y2+J+(-3=5,所以所求的国的方程为(x-2j+(y-小=25,即古+JP-4r-2y-20=0.“G)4B的中垂线方程为3x+2y-15=0,由翼十2y_圃=03x+10y+9=0所以国心为C(7,-3),又|Bc|=v砂,故所求的圆的方程为(r-7“+(y+3)=65.(3设圆的方程为xF+F+Dx+By+=0,将点P,Q的坐标分别代入,得zD国伟亡蓄，又忒y=0,得古+Dr+=0.设5i,心是方程的两根,3D一万+万二D=-D由|a|=6
5、,有D?-4F=36,解得15=-4或15=-8.一=-8【=0故所求的圆的方程为x+yF-2x-4y-8=0或古+“-6x-8y=0.17-已知圆前平径万V10,俊壬在直线y=x截得的弦长为4V2,求此圆的方程【分析】“求圆的标准方程就是求(x-J2+Cy-2=2中的a,5,7,可优先考虑待定系数法.【解析】解法一:设圆的方程为(xa)2+一52=10.由圆心在直线y=2x上,得5=2a(式D)由圆直线#x上敲得的弧长为4V2,将y=x佐入(x-02+一办2=10,整理得2x2-2(a+办x+2十厉一10=0,由弦长公式,得V2lxi一xz|=4V2,即VZ(【z十力z-2(az+厉二10)
6、=4V2,解法二:化简得a一5=土2(式)春)Q二2-6ja二一2由式可得或_4故所求圆的方程为(x-2)2+Cy-4)2=10或(x+2)2+4)2=10.根据儿何性质,半径、弦长的一十、弦心距构成直角三角形.可得莹心卷d-2(2v2J7-v2,又弦心距等于圆心(a,b)到直线x一y=0的距离,即d一恤根=V2,又已知5=2a,Q一26jQ井一2解得或黯_4故所求圆的方程为(x2)2+(y一)=10或(x+2)2+(+幻?=10,对称的圆的方程是().A.Cr+3)2+C一2)2=丁B.c-3)2+0+2)2=C.(x+3)2+(一2)2=2D.c一32+2)2=2【解析“解法一,(推演法)
7、将圆的方程x2+2-2x-1=0化为标准方程(z-02+2=2,得圆心汀0主循汀VZ:设对称国的圆心坐标为(a,则故对称圆的方程是(x+3)2+(一2)2=2.将圆的方程x:+22x一1=0化为标准方程(x一02+2=2,得r=V2,则对称圆的半径也应为V2,故排除选项A、B,在选项C中,圆心(-32),验诬鹄圆圆驷所庄的直线的斜率哟心不日2与直线2x一y+3=0垂直.故选C.题型u箩用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件【例9.19方程古+F+ar+2+2a“+a1=0表示圆,则a的取值范围是().Aa-2B一熹口0C.-2a0D.一z0,即3q+4a-40,得_2壹故选D(【评注】对于圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆,只需通过配方,然后让右边大于零即可.
