山西省2019届高三百日冲刺考试数学（文）试题（解析版）

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1、1 三百日冲刺考试三百日冲刺考试 数学（文科）数学（文科） 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.设复数（ 为虚数单位） ，则 的虚部是（ ） A. B. 4C. D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】 由复数，即可得到复数的虚部，得到答案。 【详解】由题意，复数 ，所以复数 的虚部为，故选 D。 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的乘法运算是解答的关键，着 重考查了推理与运算能力，属于基础题。 2.已知

2、集合，则集合中元素的个数为（ ） A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据集合的交集的运算，求得，即可得到答案。 【详解】由题意，可得集合，则，故选 B。 【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及构成集合的元素的个数的判定，其中解答中熟记集合的交集的运 算，得到集合是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。 3.已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2B. C. 3D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将点代入双曲线的渐近线方程，由此求得 的值，进而求得双曲线的离心率. 2 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，将点代入双曲线的渐近线

3、方程得， 故，故选 A. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的求法，属于基础题. 4.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示： 不喜欢喜欢 男性青年观众 3010 女性青年观众 3050 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 人做进一步的调研，若从不喜欢的男性青年观众”的人 中抽取了 6 人，则（ ） A. 12B. 16C. 24D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】 先求得总人数，然后根据总人数中“不喜欢的男性青年观众”所占的比例列方程，解方程求得抽取的人数. 【详解】依题意，总人数为，其中“不喜欢的男性青年观众”有人，故 ，解得.

4、所以本小题选 C. 【点睛】本小题主要考查分层抽样的有关计算，考查图表分析能力，属于基础题. 5.若一个圆锥的轴截面是面积为 1 的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由轴截面是面积为 1 的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l， 由题可知，r=h=，则， 3 侧面积为 故选：A 【点睛】本题考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；注意圆锥的侧面积的应 用 6.设满足约束条件，则的最大值是（ ） A. 1B. 4C. 6D. 7 【答案】D 【

5、解析】 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可 行域直线在y轴上的截距最大值即可 【详解】由条件画出可行域如图： 表示直线在y轴上的截距，当 ：平移到过点 A 时， 最大， 又由，解得 此时，. 故选 D. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 7.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是周期函数B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称D. 在处取得最大值 【答案】C 4 【解析】 【分析】 作出函数的图象，结合函数的周期性，奇偶性、对称性以及最值的性质，分别进行判断，即可得到答案。 【详解】由题意，

6、作出函数的图象，如图所示， 则由图象可知函数不是周期函数，所以 A 不正确； 同时图象不关于原点对称，所以不是奇函数，所以 B 不正确； 若，则， ，此时， 若，则， ，此时， 综上恒有，即图象关于对称，所以 C 是正确的； 由当时，函数不是函数的最大值，所以 D 错误， 故选 C。 【点睛】本题主要考查了与三角函数有关的命题的真假判定问题，其中解答中涉及到三角函数的周期性、奇 偶性、对称性以及函数的最值问题，其中正确作出函数的图象是解答本题的关键，着重考查了数形结合思想， 以及推理与运算能力，属于中档试题。 8.若某程序框图如下图所示，则该程序运行后输出的 等于（ ） 5 A. 4B. 13

7、C. 40D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】 运行程序，进行计算，当时退出循环，输出 的值. 【详解】，；，；，；，.因为，所以输出. 【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果. 9.在中，角的对边分別为，若，点 是的重心，且 ，则的面积为（ ） A. B. C. 或D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得或，利用和余弦定理列 方程，求得面积的两种取值. 【详解】由题可知，则，或.又 ，延长交于点 ，所以.因为，所以，即 ，当时，所以的面积为；当时，所 以的面积为.故选 D. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考

8、查向量运算，考查三角形的面积公式，属于中档题. 10.已知抛物线 ：，直线 过点，且与抛物线 交于， 两点，若线段的中点恰好为点 ，则 直线 的斜率为（ ） 6 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知设M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，代入抛物线方程作差求得：，由中点 坐标公式可知：x1+x24，y1+y24，代入求得直线MN的斜率 【详解】设，代入 ：，得， （1）-（2）得. 因为线段的中点恰好为点 ，所以， 从而，即 的斜率为. 故选 C. 【点睛】本题考查中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点坐标公式的应用，考查运算能 力，属于中档题 1

9、1.函数的大致图象有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性排除 D 选项.根据的零点个数，对选项进行排除，由此得出正确选 项. 【详解】函数是偶函数，排除 D；由，知当时， 有两个解，令，而与在有两个不同的交点（如 7 下图所示） ，故函数在上有 个零点，故选 A. 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查二倍角公式以及零点的个数判断方法，属于中档题. 12.已知，函数的最小值为 6，则（ ） A. -2B. -1 或 7C. 1 或-7D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 将化简成，利用基本不等式求得最小值，即可得到 a. 【详解】 ，

10、（当且仅当时等号成立） ， 即，解得或 7. 故选 B. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查了基本不等式的应用，将函数进行合理变形是关键，属于中档题. 第第卷卷 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填在答题纸上） 13.已知向量不共线，如果，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 由向量，所以，得到且，即可求解，得到答案。 8 【详解】由题意，向量，所以， 则且，解得. 【点睛】本题主要考查了向量的共线条件的应用，其中解答中熟记向量共线条件，列出关于的关系式是 解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。 14.已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为_ 【答案】 【解析】 【分

11、析】 先求得 f(x)及 f(1),再求导求得即为切线的斜率，最后利用点斜式写出曲线在点处的切线方程. 【详解】令，则，所以，即. 且， 又， . 所以切线方程为， 即. 故答案为. 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了导数的运算法则和导数几何意义，属于中档题 15.已知，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 先将已知等式中分离出来，然后利用诱导公式以及两角和的余弦公式进行化简，由此求得的值. 【详解】由题可得 . 【点睛】本小题主要考查方程的思想，考查诱导公式，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想 方法，属于基础题. 16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为

12、_ 9 【答案】 【解析】 【分析】 由几何体的直观图为三棱锥，其中的外接圆的圆心为 ，的外接圆的圆心为 ，的 球心为 ，球的半径为 ，且平面，平面，在和中，分别求得和， 根据球的性质，求得求得半径，即可求解外接球的表面积。 【详解】由三视图可推知，几何体的直观图为三棱锥，如图所示， 其中的外接圆的圆心为 ，的外接圆的圆心为 ，的球心为 ，球的半径为 ，且平面 ，平面. 因为是顶角为的等腰三角形， 所以的外接圆的直径为，即，即， 又由为边长为的等边三角形，所以，即， 根据球的性质，可得， 所以外接球的表面积为. 【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及三棱锥外接球的性质的应用，其中解答中根

13、据几何体的结 构特征和球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于中档 试题。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.已知正项数列的前 项和满足，. （1）若数列为等比数列，求数列的公比 的值. （2）若，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 10 【解析】 【分析】 （1）令代入，利用等比数列通项公式进行化简，求得 的值.（2）利用 ，化简已知条件，得，利用凑配法证得是从第二项起的等比数列， 由此求得的通项公式. 【详解】解：（1）依题意可得， 两式相减，得，所以. 因为，

14、所以，且，解得. （2）当时， 当时，所以， ，即， 又，所以数列是从第二项起的等比数列， 所以. 【点睛】本小题主要考查已知数列的递推关系求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中 档题. 18.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上 付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网 购是非常方便的购物方式，某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数 （单位：人）与时间 （单位： 年）的数据，列表如下： 12345 2427416479 （1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型

15、拟合 与 的关系，请计算相关系数 并加以说明（计算结 果精确到 0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性线性回归模型拟合） 附:相关系数公式 ，参考数据. （2）建立 关于 的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）. 11 （参考公式： ，） 【答案】(1)见解析；(2) 网购人数约为 91 人 【解析】 【分析】 （1）由已知数据求得r值，由r值接近 1 可得y与t的线性相关程度很高，从而可以用线性回归模型拟合 y与t的关系 （2）求出 与 的值，得到线性回归方程，取t6 求得y值得答案 【详解】 （1）由题知， 则 . 故 与 的线性相关程度很高，可用线性回归模

16、型拟合. （2）由（1）得， . 所以 与 的回归方程为. 将带入回归方程，得， 所以预测第 6 年该公司的网购人数约为 91 人. 【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生读取图表的能力及运算求解能力，是中档题 19.在四棱柱中，底面为平行四边形，平面，. 12 （1）证明：平面平面； （2）若直线与底面所成角为 ， ， 分别为，的中点，求三棱锥的积. 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 【分析】 （1）推导出D1D平面ABCD，D1DBC，ADBD，由ADBC，得BCBD，从而BC平面D1BD，由此能证明 平面D1BC平面D1BD （2）由平面得，可以计算出，再利用锥体体积公式求得，根据等体积法 即为. 【详解】 （1）平面，平面， . 又， ， ，. 又， . 又，平面，平面， 平面，而平面， 平面平面； （2）平面， 13 即为直线与底面所成的角，即， 而，. 又， .