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1、第一章矩阵的相似与相合 1.1基本要求、 重点、 难点内容 1.1.1基本要求 1. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质, 会求矩阵的特征值和特征向量; 2. 了解相似矩阵的概念、 性质及矩阵可相似对角化的条件; 3. 掌握用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法; 4. 理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质; 5. 掌握二次型及其矩阵表示， 了解二次型秩的概念， 了解惯性定理; 6. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法; 7. 了解二次型和对称矩阵的正定性及其判别法. 1.1.2重点内容 1. 矩阵的特征值和特征向量的计算; 2. 正交相似变换化实对称矩阵为对角矩阵; 3. 用正交
2、变换化二次型为标准形. 1.1.3难点内容 1. 矩阵可对角化的条件; 2. 正定矩阵的性质及判别. 1.2主要内容 1.2.1特征值与特征向量的定义 本章除非特别说明, 我们总假设F是复数域. 定义1.1. 设A Fnn, 如果存在数 F和非零向量x Fn, 使得 Ax = x,(1.2.1) 则称为A的一个特征值, x为A的属于的一个特征向量. 若是A的一个特征值, 则 |I A| = 0.(1.2.2) 1 2第一章 矩阵的相似与相合 |I A|是关于的首项系数为1的n次多项式, 称为A的特征多项式, 记为fA().方 程(1.2.2)称为A的特征方程. 可见, A的特征值就是fA()
3、= 0在F上的根. 因此, A的特 征值也称为A的特征根. 求特征值与特征向量的问题统称为特征值问题. 1.2.2特征值与特征向量的性质 性质1.2.1. n阶方阵A与它的转置矩阵AT的特征值相同. 性质1.2.2. 设A = (aij)n的特征值为1,2, ,n, 则 (1) 1+ 2+ + n= a11+ a22+ + ann; (2) 12n= |A|. 注 A的主对角元的和a11+ a22+ + ann称为A的迹, 记为tr(A). 推论1.2.1. n阶方阵A可逆的充要条件是0不是A的特征值. 性质1.2.3. 设是n阶可逆阵A的特征值, 则1是A1的特征值. 性质1.2.4. 若是
4、A的特征值, 则m是Am的特征值. 进一步, 若(x) Fx, 则()是(A)的 特征值. 性质1.2.5. 设分块上三角矩阵 A = A11A12A1p A22A2p . . App , 其中Aii为ni(i = 1, ,p)阶方阵, 则每个Aii的特征值也是A的特征值, 且Aii(i = 1, 2, , p)的所有特征值即为A的全部特征值. 定理1.2.1. 设1,2, ,m(m n)是n阶方阵A的属于互异特征值1, 2, , m的特征向量, 则1, 2, , m线性无关. 1.2.3矩阵对角化的条件 设A,B是n阶方阵, 且A与B相似, 即有可逆矩阵P使得 P 1AP = B, 称P为把
5、A变为B的相似变换矩阵. 1.2 主要内容3 性质1.2.6. 设n阶方阵A与B相似, 则A与B有相同的特征多项式, 从而A与B有相 同的特征值. 定理1.2.2. n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量. 推论1.2.2. 若n阶方阵A有n个互异的特征值, 则A可对角化. 定理1.2.3. n阶方阵A可对角化的充要条件是对A的每个特征值, 有 r(I A) = n s, 其中s为的重数. 1.2.4实对称矩阵的对角化 定理1.2.4. 实对称矩阵的特征值都是实数. 对实对称矩阵A, 因为A的特征值是实数, 所以齐次线性方程组(I A)x = 0的 基础解系可由实向量组成,
6、因此A属于特征值的特征向量可以取为实向量. 定理1.2.5. 属于实对称矩阵的不同特征值的实特征向量彼此正交. 定理1.2.6. 任意n阶实对称矩阵A一定可正交对角化. 即有正交矩阵P, 使 P 1AP = PTAP = , 其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵. 1.2.5二次型的概念 定义1.2. 关于变量x1,x2, ,xn的实二次齐次多项式 f(x1,x2, ,xn) = a11x2 1+ 2a12x1x2+ + 2a1nx1xn + a22x2 2+ + 2a2nx2xn+ + annx 2 n (1.2.3) 称为n元实二次型,简称为二次型. 令aij= aji, i 0,i
7、= 1,2, ,r, r是这个二次型的秩. 可逆线性变换 y1 y2 . . . yn = diag( 1 d 1 , , 1 d r ,1, ,1) z1 z2 . . . zn , 1.2 主要内容5 可将(1.2.6)式化为 z2 1 + z2 2 + + z2 p z2 p+1 z 2 r. (1.2.7) 称(1.2.7)式为实二次型f(x1,x2, ,xn)的规范形. 定理1.2.8. 实二次型的规范形是唯一的. 定义1.5. 在实二次型f(x1,x2, ,xn)的规范形中, 系数为1,1的平方项的项数p,r p分别称为f(x1,x2, ,xn) 的正惯性指数和负惯性指数, 正、负
8、惯性指数的差为二次 型的符号差. 推论1.2.3. n元二次型xTAx的正、 负惯性指数分别为A的正、 负特征值个数. 定理1.2.9. 任一n阶实对称矩阵A相合于 Ip00 0 Irp0 000 其中r = r(A), 且p由A唯一确定, 分别称p,r p为A的正惯性指数和负惯性指数. 推论1.2.4. 两个n阶实对称矩阵相合的充要条件是它们的秩相等, 并且它们的正 惯性指数也相等. 1.2.7正定二次型 定义1.6. 设n元实二次型f(x1,x2, ,xn) = xTAx, 若对于任意一组不全为零的 实数c1,c2, ,cn, 均有 f(c1,c2, ,cn) 0, 则称实二次型f(x1,
9、x2, ,xn)是正定的, 矩阵A称为正定矩阵. 定理1.2.10. 设A为n阶实对称矩阵, 则下列命题等价: (1) A是正定矩阵; (2) A的n个特征值全大于0; (3) A的正惯性指数等于n; (4) 存在n阶可逆矩阵P Rnn, 使A = PTP. 定义1.7. 设A为n阶方阵, 由A的前k行k列交叉元素构成的行列式称为A的k阶顺 序主子式. 定理1.2.11. n阶实对称矩阵A正定的充要条件是A的所有顺序主子式大于0. 6第一章 矩阵的相似与相合 1.3典型题析 例1.3.1. 求下列矩阵的特征值与特征向量. (1)A = ( 11 11 ) ;(2)A = 210 420 483
10、 说明 特征值与特征向量的求解是本章的重要内容. 一般地, n阶方阵A的特征值和 特征向量的求法可归纳为: (1) 计算fA() = 0的根i(i = 1,2, ,n); (2) 对每个i, 求齐次线性方程组(iI A)x = 0的一个基础解系1, 2, , s, 则k11+ k22+ + kss(k1,k2, ,ks是任意不全为零的数) 就是A的属于i的全部 特征向量. 解 (1) A的特征多项式为 |I A| = ? ? ? ? 11 1 1 ? ? ? ? = ( 1)2+ 1 = 2 2 + 2, 所以A的特征值为1= 1 + i,2= 1 i. 对1= 1+i, 求(1+i)I A)
11、x = 0的一个基础解系1= (i,1)T, k11(k1= 0)是A的 属于1= 1 + i 的全部特征向量. 对2= 1i, 求(1i)IA)x = 0的一个基础解系2= (i,1)T, k22(k2= 0)是A的 属于2= 1 i的全部特征向量. (2) A的特征多项式为 |I A| = ? ? ? ? ? ? ? 210 4 + 20 48 + 3 ? ? ? ? ? ? ? = 2( + 3), 所以A的特征值为1= 3,2= 3= 0. 对1= 3, 求(3I A)x = 0的一个基础解系. 由于 (3I A) = 510 410 480 510 010 000 , 所以(3I A
12、)x = 0的一个基础解系为1= (0,0,1)T, k11(k1= 0)是A的属于1= 3的全部特征向量. 对2= 3= 0, 同样可求Ax = 0的一个基础解系2= (3,6,20)T, k22(k2= 0)是A的属于2= 3= 0 的全部特征向量. 1.3 典型题析7 例1.3.2. 设3阶矩阵A有特征值1,2,3, 求矩阵A2, A3+ 2A + I的特征值. 分析 一个矩阵和它的多项式矩阵有如下的关系: 设是A的特征值, (x) Fx, 则()是(A)的特征值. 由此, 若知道A的一个特征值, 则可求出(A)的一个特征值. 解由以上分析知, 1,4,9 是A2的3个特征值. 由于此3
13、个特征值互不相等, 它们正 好是A2的3个特征值. 同理, 4,13,34 矩阵A3+ 2A + I的3个特征值. 例1.3.3. 设A为n阶幂零矩阵, 证明A的特征值为零. 证 设为A的任一特征值, x = 0为相应的特征向量, 则Ax = x. 由此知, 存在自 然数k使得kx = Akx = 0. 因为x = 0, 得 = 0. 例1.3.4. 设A为n阶方阵, 证明A的特征多项式中的常数项等于(1)n|A|. 证 设A的特征多项式为 fA() = a0+ a1 + + ann. 则 a0= a0+ a1 0 + a2(0)2+ + an(0)n = fA(0) = |0I A| = (
14、1)n|A|. 例1.3.5. 设不是n阶矩阵A的特征值, 证明向量x是A的一个特征向量当且仅当x是 (A I)1的一个特征向量. 证 设向量x是A的相应于特征值的一个特征向量, 则Ax = x当且仅当 (A I)x = ( )x. 因为不是A的特征值, 所以(A I)可逆, 于是(A I)x = ( )x等价于 (A I)1x = 1 x. 说明向量x是A的一个特征向量当且仅当x是(A I)1的一个特征向量. 例1.3.6. 设为n阶正交矩阵A的一个特征值, 证明 1 也是A的一个特征值. 8第一章 矩阵的相似与相合 证 因为A为正交矩阵, 所以ATA = I, 由此得|A| = 1. 说明矩阵A非奇异, 故A的 特征值不为零. 设为n阶正交矩阵A的一个特征值, x = 0 是相应的特征向量, 则 x = Ix = ATAx = ATx 即有ATx = 1 x. 说明 1 是矩阵AT的特征值, 但A 与AT有相同的特征值, 故 1 也是A的 特征值. 例1.3.7. 判断下列矩阵是否可以对角化. (1)A = 312 8138 10115 ; (2)B = 144 8138 883 . 解 矩阵A和B的特征多项式均为(+1)(+5)2, 所以矩阵A和B的特征值均为1= 1,
