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用两数和与差换元解不定方程 贵州省平塘县民族中学 谭登林 本文讨论形如ax2ay2bxycxdye=0的二元不定方程，利用两数和与差的对称换元进行解答.例1 求方程3x2+3y22xy2x-10y+11=0的整数解.代入原方程化简整理得：2s2-4st26t+11=0即2（s-1）2（t3）2=0（苏联第12届奥林匹克数学竞赛题）整理得：28s3（s23t2）28k3（3k2t2）m）=t2， m（28-27m）0， m=0或m=1若m=0，则x=y=0不是原方程的解；若m=1，则（1987年上海市初中数学竞赛题）解：设x=st，y=s-t，则（s+t）（s-t）=2，s=1又（s+t）（s-t）-z2=1，即t2+z2=s2-1=0t=z=0，从而知，原方程只有唯一的一组实数解x=y=1，z=0例4 求方程xy-x-y=1986的所有的整数解（1986年全国初中数学竞赛征解题）解：设x=s+t，y=s-t，代入原方程化简整理得（s+t-1）（s-t-1）=1987不难验证1987为质数故有：由此可解得：于是易得原方程所有的整数解为：则易知s=1x2+y2=2此方程的整数解为：经检验知，原方程仅有唯一的一组整数解
