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1、第二章 函数,第1讲,函数与映射的概念,1函数的概念 (1)函数的定义 设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的_，在集合 B 中都有_ 的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数，通常 记为_.,每一个数 x,唯一确定,yf(x)，xA,(2)函数的定义域、值域,的集合f(x)|xA,在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫 做 yf(x)的_；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，_ _称为函数 yf(x)的值域 (3)函数的三个要素，即_、_和_.,2映射的概念,定义域,值域,对应关系 f,设 A、
2、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，对于集 合 A 中的_元素，在集合 B 中都有_的元素与之对 应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的映射，通常记为_.,任意,唯一确定,f：AB,定义域,函数值,A,Ax|x3 Cx|x3,Bx|x3 Dx|x3,2下列函数中与函数 yx 相同的是(,),B,2,2,4函数 y,lg(4x) x3,的定义域是_.,5设 Mx|0x2，Ny|0y3，给出如图 211 所示四个图象，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是,_(填序号),x|x4 且 x3,图 211,考点1 有关映射与函数的概念,例1：若 f：y3x1 是从集合 A1,2,
3、3，k到集合 B4,7， a4 ，a2 3a 的一个映射，则自然数 a _ ，自然数 k _；集合 A_，B_.,解题思路：处理映射有关问题的关键是理解透概念 解析：f(1)3114，f(2)3217， f(3)33110，f(k)3k1， 由映射的定义知,aN， 方程组(1)无解 解方程组(2)，得 a2 或 a5(舍) 3k116,3k15，k5. A1,2,3,5，B4,7,10,16,【互动探究】 1已知映射：f：AB，其中 ABR，对应关系 f：xy x22x，对于实数 kB，且在集合 A 中没有元素与之对应，,),则 k 的取值范围是( Ak1 Ck1,Bk1 Dk1,解析：y(x
4、1)211，若kB，且在集合A 中没有元素 与之对应，则k1.,A,考点2,判断两函数是否为同一个函数,例2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？,解题思路：要判断两个函数是否为同个函数，只需判断其定 义域和对应关系是否相同即可,【互动探究】 2若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同， 则称这些函数为“孪生函数”例如解析式为 y2x21、值域为 9的孪生函数有三个： y2x21，x2； y2x21，x2； y2x21，x2,2 那么函数的解析式为 y2x21，值域为1,5的孪生函数共有,(,),C,A5 个,B4 个,C3 个,D2 个,考点3,求函数的定义域,答案：A,求一些具体函
5、数的定义域，有分母的保证分母不为 零；有开偶次方根的要保证被开方数为非负数；有对数函数保证 真数大于零，底数大于零且不等于 1.在求定义域的过程中，往往 需要解不等式(组)，很多时候需要利用函数的单调性,A,lg(1x)的定义域是(,1 1x,),4(2011 年广东)函数 f(x) A(，1) B(1，) C(1,1)(1，) D(，),C,易错、易混、易漏,4对复合函数的定义域理解不透彻,例题：(1)若函数 f(x)的定义域为2,3，则 f(x1)的定义域为,_；,(2) 若 函 数 f(x 1) 的 定义域为 2,3 ， 则 f(x) 的定义域为,_；,(3) 若函数 f(x 1) 的定
6、义域为 2,3 ， 则 f(x) 的 定 义 域 为,_，f(2x1)的定义域为_；,(4)若函数 f(x)的值域为2,3，则 f(x1)的值域为_；f(x),1 的值域为_,(4)f(x1)的图象就是将f(x)的图象向右平移1 个单位，不改变 值域f(x)1 的图象就是将f(x)的图象向下平移1 个单位，所以f(x 1)的值域为2,3，f(x)1 的值域为1,2,【失误与防范】本题是求关于抽象的复合函数的定义域和值 域，加深对函数定义域的理解，弄明白f(x)与 fu(x)定义域之间的 区别与联系，其实在这里只要 f(x)中 x 取值的范围与fu(x)中式子 u(x)的取值范围一致就行了.注意
7、习题(3)就是习题(1)和习题(2)的 综合.,函数的概念含有三个要素，当函数的定义域及对应关系确定 之后，函数的值域也就随之确定因此，“定义域和对应关系” 为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应关系 分别相同时，这两个函数才是同一个函数,对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形：已 知 f(x) 的定义域为a ，b ，求 fu(x) 的定义域，只需求不等 式 au(x)b 的解集即可；已知 fu(x)的定义域为a，b，求 f(x) 的定义域，只需求 u(x)的值域；已知 fu(x)的定义域为a，b， 求 fg(x)的定义域，必须先利用的方法求 f(x)的定义域然后利用 的
8、方法求解,第2讲,函数的表示法,1函数的三种表示法,图象法,列表法,解析法,_、_、_ (1)图象法：就是_表示两个变量之间的关系 (2)列表法：就是_来表示两个变量的函数关系 (3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用_来表示,2分段函数,列出表格,等式,在自变量的不同变化范围中，对应关系用不同式子来表示的 函数称为分段函数分段函数的对应关系为一整体,用函数图象,A,B,5已知函数f(x)x2|x2|，则f(1)_.,A,2,2 或 2,，若 f(a)2，则实数,考点1 求函数值,例1：(2011 年浙江)设函数 f(x),4 1x,a_.,答案：1,(2011 年广东)设函数 f(x)x3
9、cosx1.若 f(a)11，则 f(a),_.,解析：f(a)a3cosa111，即f(a)a3cosa10. 则f(a)(a)3cos(a)1a3cosa1 1019. 答案：9,【互动探究】 1已知 a，b 为常数，若 f(x)x24x3，f(axb)x210x,24，则 5ab_.,2,考点 2 分段函数 例2：(2011 年北京)根据统计，一名工人组装第 x 件某产品,已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15,分钟，那么 C 和 A 的值分别是(,),A75,25,B75,16,C60,25,D60,16,答案：D,若 f(1a)f(1a)，则 a 的
10、值为_,答案：D,分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来 表示的，处理相关问题时，首先要确定自变量的值属于哪一个区 间，从而选定相应关系式代入计算特别地要注意分段区间端点 的取舍,【互动探究】,-2,考点3,求函数的解析式,例 3：(1)已知 f(x1)x21，求 f(x)的表达式； (2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17， 求 f(x)；,解题思路：本题侧重于从映射的角度理解函数，求函数解析 式 f(x)即是求“对应关系 f 是如何对 x 实施运算的”,解析：(1)方法一：f(x1)x21 (x1)22x2(x1)22(x1)， 可令tx1，则有f(t)
11、t22t，故f(x)x22x. (f对x实施的运算和对t实施的运算是完全一样的) 方法二：令x1t，则xt1.代入原式，有 f(t)(t1)21t22t，f(x)x22x. (2)设f(x)axb(a0)， 则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2b axb5a2x17. a2，b7.故f(x)2x7.,【互动探究】 3已知 f(3x)4xlog23233，则 f(2)f(4)f(8)f(28)的,值等于_.,2 008,解析：f(3x)4xlog232334log23x233f(x)4log2x233，f(2)f(4)f(8)f(28)82334(log222log223log2
12、28log22)1 8641442 008.,考点 4 函数中的信息给予题 例 4：符号x表示不超过 x 的最大整数，如3，1.08 2，定义函数xxx给出下列四个命题： 函数x的定义域是 R，值域为0,1； 函数x是周期函数； 函数x是增函数,其中正确命题的序号有(,),A,B,C,D,答案：C,【互动探究】 4(2011 年广东珠海模拟)对于任意实数 x，符号x表示 x 的 整数部分，即x是不超过 x 的最大整数，例如22；2.12； 2.23，这个函数x叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实 践中有广泛的应用那么log21log22log23log24,log264的值为(,),C,A2
13、1,B76,C264,D642,1求抽象函数解析式的几种常用方法,(1)换元法：已知 fg(x)的表达式，欲求 f(x)，我们常设 tg(x)， 反解求得 xg1(t)，然后代入 fg(x)的表达式，从而得到 f(t)的表 达式，即为 f(x)的表达式,(2)凑配法：若已知 fg(x)的表达式，欲求 f(x)的表达式，用换 元法有困难时如 g(x)不存在反函数，可把 g(x)看成一个整体，把 右边变为由 g(x)组成的式子，再换元求出 f(x)的式子,(3)消元法：已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一 个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方 法为消元法,(4)赋值法：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时 把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出 函数的表达式,2分段函数不论是研究性质，还是作图、求值，都是按自变,量的取值范围和对应关系分段处理,1在函数 f(x)中，符号 f 表示一种对应关系，可以是解析式，,可以是图象，也可以是图表,2分段函数是同一个函数，由于在不同区间上的解析关系式 不同，所以容易忽视自变量的取值范围，从而造成错误,第3讲,函数的奇偶性与周期性,1函数的奇偶性的定义,(1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_或 _，则称 f(x)为奇函数奇函数的图象关于_对称
