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1、主讲：倪伟 南昌大学理学院数学系 办公：生命科学大楼B829 电话：15807005240,高等数学,微积分概况,微积分教程一般按如下方式安排： 历史上，这些问题是按相反的顺序进展的：,积分思想溯源穷竭法,不规则几何图形面积体积的计算： 穷竭法：用规则几何图形“穷竭”不规则几何图形。,欧多克斯原理：从任一量中减去不小它的一半的部分，再从余量中减去不小于的一半的部分，如此继续下去，则最后留一个小于任何给定的同类量。,欧多克斯(Eudoxus，400350 BC) 提出。 阿基米德(Archimedes, 283-212 BC)熟练运用。,阿基米德（Archimedes, 283-212 BC）
2、抛物线围成的某些图形的面积,积分思想溯源阿基米德,开普勒(Kepler 1571-1563 ) 第一个试图阐明阿基米德方法，并给予推广。 第二行星定律中椭圆面积的计算。 1615年出版酒桶的新立体几何，书中包含用无穷小量求面积和体积的许多问题。,卡瓦列里(Cavalieri 15981647) 开普勒工作的直接继承者。 不可分量原理。（y=xn下的面积） 不可分量专著：不可分量几何学（1635）。,积分思想溯源,帕斯卡(Pascal 16231662 ) 更接近积分的现代解法。 计算了种种面积、体积、弧长， 并解决了求重心位置等问题。,积分思想溯源,中国古代数学家的贡献 刘辉(约250-?),
3、祖冲之(429-500)的割圆术给出了计算圆面积和圆周率的方法。 祖恒沿着刘徽祖冲之的思路完成了球体积公式的推导（祖恒原理）。,沃利斯(Wallis,1616-1703) 在其著作无穷数量的算术中， 获得了一系列重要的结果。,积分的根本思想,微分学的起源,曲线的切线； 函数的最大(小)值; 运动量的变化率。 罗贝瓦尔（Roberval，1602-1675）从一般意义上研究曲线的切线问题。 笛卡尔(1596-1650)用“圆法”来求曲线的切线，本质上是一种代数方法。 费马求极小、极大值的方法 巴罗的微分三角形，把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无穷小来取极限。,微分思想的根本问题,以无穷小
4、方法研究变化率问题产生了微分学； 以无穷小方法研究分割求和问题产生了积分学； 牛顿莱布尼茨公式揭示了两者的内在联系（微积分基本定理），建立了统一的微积分学。,微积分的诞生,17世纪上半叶一系列前驱性工作沿不同方向朝着微积分的大门踏近，但它们还不足以标示微积分作为一门独立科学的诞生，这是因为它们在方法上还缺乏一般性。,牛顿从1665年到1695年，对微积分成果为： 1665，“正流数术” 微分学； （当时未公开发表，在科学家之间小范围传播） 1666，“反流数术”积分学； （当时未公开发表，在科学家之间小范围传播） 1666，“流数简论”标志微积分的诞生； 1669，“分析学”由此后人称以微积分
5、为主 00000要内容的学科为数学分析 1671，“流数法” 1687，“自然哲学的数学原理”简称“原理” 1691，“求积术”,牛顿在微积分方面的主要成果：,莱布尼茨在微积分方面的主要成果：, 1675年给出积分号“ ”，同年引入微分号“d”, 1676年给出公式 ，, 1677年，表述微积分基本定理：, 1684，“求极大与极小值和求切线的新方法” (微积分学的第一篇公开发表论文), 1686，“深奥的几何与不可分量的无限的分析” （积分学论文）,牛顿 V S 莱布尼茨,牛顿和莱布尼茨各自独立的发明了微积分。 莱布尼茨的大部分结果先于牛顿发表； 牛顿的大部分结果先于莱布尼茨发现。 莱布尼兹
6、的记号比牛顿的更容易理解，一直沿用至今.,这个时期的微积分： 极限的概念还没有引进微积分，主要 应用“不可分量”和“无穷小量”的概念。 逻辑基础不严密，一些结论不能严格证明。,微积分的极限理论基础,牛顿-莱布尼茨的微积分逻辑基础不严密，特别是在无穷小概念上的混乱，引起一部分人的批评。 英国哲学家、牧师 G.Berkeley（1685-1753）：分析学家，或致一位不信神的数学家矛头直指牛顿的流数法。 Berkeley悖论,Cauchy:将微积分的基础建立在极限基础上。 Weirstrass:建立了分析基础的逻辑顺序：实数系-极限论-微积分。,微积分的集合论基础,由于实数的严格理论尚未建立，所以
7、柯西的极限理论还不完善。 柯西，威尔斯特拉斯之后，康托，戴德金将分析基础归结为实数理论，并建立起完整的实数体系。 19世纪下半叶，康拓尔建立著名的集合论，成为现代数学的基石。 1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞卡莱兴高采烈的宣称：“借助于集合的概念，我们可以建造整个数学的大厦今天我们可以说绝对严格性已经达到”,微积分逻辑基础的最后完成,罗素悖论：集合论是有漏洞的. -罗素数学的原理1903,S由一切不是自身元素的集合所组成。 然后罗素问：S是否属于S呢？,微积分逻辑基础的最后完成,1908年，策梅罗(Zermelo 18711953 ) 提出第一个 公理化集合论体系，后经弗兰克尔(
8、Fraenkel 1891_1965) 改进，称为ZF系统。 这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合 论的缺陷。,至此，分析学（数学）大厦的整个基础完全建立,微积分概况,微积分教程一般按如下方式安排： 历史上，这些问题是按相反的顺序进展的：,1.1 集合,1.集合的概念.,2.集合的元素.,3.有限集、无限集.,4.集合的表示法.,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系: N Z, Z Q, Q R,规定 空集为任何集合的子集, A. 集合A是其自己的子集，A A.,5.全集与空集.,6. 集合的运算,设A.B是两个集合,并集：由A和B的所有元素
9、组成的集合，称为A和B的并，记为AB. AB=x|x A或x B .,交集：由A和B的公共元素组成的集合，称为A和B的交，记为A B. A B=x|x A且x B .,补集：全集U中所有不属于A的元素构成的集合， 称为A的补集，记为.,差集：属于A但不属于B的元素组成的集合，称为A和B的差，记为AB. A B=x|x A且x B .,例, 若A=1,2,3,4，B=3,4,5,6， 则AB=1,2.,例, 若在本教室中的学生为全集， 且A 为带了微积分的学生， 则为未带微积分的学生。,设A、B、C为任意三个集合，则下列法则成立：,7.集合的运算律,交换律 AB = BA, AB = B A,结
10、合律 (AB)C = A(BC) (AB)C = A (B C),分配律 (AB) C = (A C)(B C) (AB) C = (A C) (B C),摩根律,将两个元素x和y按先后顺序排列成一个元素组(x, y), 称为二元有序组。 (x, y)和(y, x)是两个不同的二元有序数组. (x1, y1)=(x2, y2)当且仅当x1=x2, y1=y2.,9.集合的笛卡尔乘积,由三个元素x,y,z按先后顺序排列成一个元素组(x,y,z), 称为三元有序组。 由n个元素x1,x2,xn按先后顺序排列成一个元素组(x1,x2,xn)称为n元有序组。,定义：设A, B为给定的两集合，集合A,
11、B的笛卡尔积 AB定义为 AB=(x, y)| x A, y B,例1：设A=1,2,3,4, B=2,3, 则 AB=(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3),例2：设A=a,b, 则 AA=(a, a), (a, b), (b, a), (b, b),例3：设R为实数集, 则笛卡尔直角坐标平面可 记为RR, 即 RR=(x, y)| x R, y R.,例4：设A=x| 0x2, B=y| 0y1, 则 AB=(x, y)| 0x2, 0y1 表示坐标平面中如图所示区域。,1.2 实数集,（一）实数与数轴,
12、（二）绝对值,（三）区间,（四）邻域,设a与是两实数，且0.,集合U(a, )=x| a- xa+ 称为点a的邻域。 点a称为这个邻域的中心， 称为邻域的半径。,集合x|0|x-a|称为点a的以为半径的空心邻域。,1.3关系,父子关系: (x,y), x,y是地球人，且x是y的父亲 夫妻关系: (x,y), x,y是地球人，且x是y的丈夫 实数间的大于关系: (x,y), x,y是实数，且x大于y 集合的包含关系: (x,y), x,y是全空间中两集合，且xy 元素与集合的从属关系: (x,y), x是一元素，y是一集 合， 且xy,关系：关系是二元有序组的集合,例，定义本班同学间的同姓关系：
13、 R=(x,y)|x,y为本班同学，且x,y姓相同,1.3关系,令R是一关系（即二元有序组的集合），且(x,y) R.,以上表面x,y存在关系R, 在这种情况下通常写作xRy. 此时字母R代表一种关系，也可以用其余的字母来代 替，特别的可以用一些特殊的符号来代替，如,=, 等。,例1: R是所有二元有序整数组(x,y), 其中xZ,yZ,且x小于y. 于是xRy表示整数x小于整数y的关系，此时一般用符号代替字母R.,例2: R是所有二元有序组(x,y), 其中x,y为地球人,且x是y的妻子. 于是xRy表示x是y的妻子，此时可用其余符号代替字母R，比如xy,1.3函数的概念,定义域: D 或
14、D(f). 值 域：W=y | y= f (x), x D 或 R(f). 函数的图形：(x,y)| y=f(x), x D(f),函数的两要素:,定义域与对应法则.,自变量,对应法则f,因变量,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值. 自然定义域,1.3函数的两要素,1.3“多值函数”,根据函数的定义，它不是函数。但为了方便起见，课本上称它为多值函数。 在本教程中，我们只讨论单值函数。,1.4分段函数,由两个或多个解析式表示的一个函数，交分段函数。,1.4分段函数,|x|=xsgn(x),1.4分段函数,-3.6=-4 -0.2=-1 0.3=0 2.4=2,1.4分段函数,
15、1.4分段函数,1.4分段函数,1.6函数的奇偶性,1.6函数的奇偶性,1.6函数的周期性,通常说周期函数的周期是指其最小正周期. 周期函数的定义域为R.,例：y=sinx, y=cosx 都以2 为周期； y=tanx, y=cotx都以 为周期.,1.6函数的周期性,1.6函数的单调性,x,1.6有界函数,例,1.6无界函数,例,例,1.21.6 小结,区间的概念 邻域的概念 关系的概念，函数的概念，定义域，值域 常见的分段函数 函数的奇偶性 函数的周期性 函数的单调性 函数的有界性,1.7反函数,1.7反函数,1.7反函数,1.7复合函数,例, x: 自变量 u: 中间变量 y: 因变量, 当且仅当D(f)R(g) 时,两函数才能复合,例 y=arcsin(u), u=x2+2 不能构成复合函数, 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,1.7复合函数,所以, 不能构成复合函数
