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1、2019/4/20,1,第六章,非参数统计,版权所有 BY 统计学课程组,2019/4/20,2,第一节 引言 第二节 单样本非参数检验 第四节 两样本的非参数检验 第四节 秩相关检验,第六章 非参数统计,版权所有 BY 统计学课程组,2019/4/20,3,本章重点与难点,重点:了解和掌握单样本非参数检验、两样本的非参数检验、秩相关检验的基本方法。难点:符号秩检验的基本原理和秩相关检验的基本原理及其计算方法。,版权所有 BY 统计学课程组,2019/4/20,4,第一节 引言,一、关于非参数统计 二、非参数统计中常用统计量,版权所有 BY 统计学课程组,2019/4/20,5,一、关于非参数
2、统计,非参数统计方法的共同特征是与总体分布无关，即总体分布未知的情况下的统计推断方法。 非参数检验总是比传统检验安全。但是在总体分布形式已知时，非参数检验就不如传统方法效率高。这是因为非参数方法利用的信息要少些。往往在传统方法可以拒绝零假设的情况，非参数检验无法拒绝。,版权所有 BY 统计学课程组,2019/4/20,6,注意：非参数统计的“非参数(nonparametric)”意味着其方法不涉及描述总体分布的有关参数；之所以称和总体分布无关(distributionfree)，是因为其推断方法不涉及到总体分布，不应理解为与所有分布(例如有关秩的分布)无关。,版权所有 BY 统计学课程组,20
3、19/4/20,7,二、非参数统计中常用统计量,（一）顺序统计量 1顺序统计量 2基于顺序统计量的统计量 3顺序统计量的分布,版权所有 BY 统计学课程组,2019/4/20,8,1顺序统计量,版权所有 BY 统计学课程组,1、顺序统计量：对于简单随机样本X1,X2,Xn，如果按照 升幂排列，得到 X(1)X(2)X(n) 称X(K)为k个顺序统计量；称X(1),X(2),X(n)为一个顺序样本；,2019/4/20,9,2基于顺序统计量的统计量,版权所有 BY 统计学课程组,中位数 极差 P分位数,2019/4/20,10,3顺序统计量的分布,版权所有 BY 统计学课程组,分布函数为,201
4、9/4/20,11,版权所有 BY 统计学课程组,第r个顺序统计量的密度函数为,2019/4/20,12,（二） 秩统计量,1秩统计量 2秩统计量的分布和数字特征 3线性符号秩统计量,版权所有 BY 统计学课程组,2019/4/20,13,1秩统计量,版权所有 BY 统计学课程组,设X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本（其中无重复 数据点）。记Ri为样本点Xi的秩，即 Ri等于或等于Xi的Xj的个数,2019/4/20,14,版权所有 BY 统计学课程组,【例6.1 】 表6-1 原始观测值及相应的秩统计表 对于【例6.1】给定的样本，分别给出了他们相应的秩。,2019/4/20,15,
5、2秩统计量的分布和数字特征,版权所有 BY 统计学课程组,R1，R2，Rn的联合分布为： Ri的概率分布为： Ri的数学期望： Ri的方差：,2019/4/20,16,3线性符号秩统计量,版权所有 BY 统计学课程组,设Ri+在X1,X2,Xn中的秩，定义an+(.)为在 整数1，2，,n上的非负函数，且满足an+(1),an+(n)不全 为0，则称 为线性符号秩统计量。,2019/4/20,17,版权所有 BY 统计学课程组,如果X1,X2,Xn为独立同分布的连续随机变量，并有关于0的对称分布，则 区别于秩统计量的分布，线性符号统计量的分布要求总体分布连续且对称。,2019/4/20,18,
6、第二节 单样本非参数检验,一、单样本拟合优度检验 二、符号检验 三、Cox-Stuart趋势检验 四、游程检验,版权所有 BY 统计学课程组,2019/4/20,19,一、单样本拟合优度检验,版权所有 BY 统计学课程组,（1）提出统计假设 H0:F(X)=F0(X) （2）选择适当统计量,2019/4/20,20,版权所有 BY 统计学课程组,（3）由给定的显著性水平，查卡方概率分布表确定临界值 2（m-1-r）(这种检验是右侧检验)。 （4）利用样本值X1,Xn计算实际频数fi，再计算经验概率p ,据以计算 的值。 （5）结论，若 ，则拒绝原假设，即认为总体的分布函数不为F0(X)；反之，
7、则接受原假设，即认为总体的分布函数为F0(X)。,2019/4/20,21,版权所有 BY 统计学课程组,【例6.2】某公路上，交通部门观察每15秒钟内路过的汽车 辆数，共观察了50分钟，得如下样本资料： 表6-2 交通部门观察每15秒内过路的汽车辆数统计表 试问通过的汽车辆数可否认为服从泊松分布，显著性水平为 =0.05?,2019/4/20,22,版权所有 BY 统计学课程组,【解】由泊松分布的概率函数 的估计量为：,2019/4/20,23,版权所有 BY 统计学课程组,由题意，要检验的假设为： H1：总体部服从泊松分布 将数轴分为6个区间：（-，0,(0,1,(1,2,(2,3,(3,
8、4,(4,), 由泊松分布的概率函数分别计算落在这些区间的概率,2019/4/20,24,2019/4/20,25,版权所有 BY 统计学课程组,由计算表可知 当原假设为真时， 服从自由度为3（m-r-1=5-1-1=3）的2分布。 由=0.05，查2分布表得临界值 ，因为 ,所以接受原假设，认为通过该地段的汽车辆数服从泊松分布。,2019/4/20,26,二、符号检验,版权所有 BY 统计学课程组,假定用总体中位数M来表示中间位置，并且X1,Xn独立同分布，这意味着X1,Xn取大于M的概率应该与取小于M的概率均为1/2。对于我们所研究的问题，可以看作是只有两种可能“成功”或“失败”。成功为“
9、+”，即大于中位数；失败为“-”，即小于中位数M。令： S+=得正负号的数目 S-=得负负号的数目,2019/4/20,27,版权所有 BY 统计学课程组,可以知道S+和S-均服从二项分布B(n,0.5),n=S+S-。则S+或S-可以用来做检验的统计量，给定显著性水平。,2019/4/20,28,版权所有 BY 统计学课程组,对于左侧检验H0:M=M0；H1:MM0,当零假设为真时，S+应该不大不小。当S+过小，即只有少数的观测值大于M0，则M0可能太大，总体的中位数可能较M0小一些。如果 P(S+s+/H0),则拒绝原假设。,2019/4/20,29,版权所有 BY 统计学课程组,对于右侧
10、检验H0:M=M0；H1:MM0,当零假设为真时，S+ 应该不大不小。当S+过大，即有多数的观测值大于M0，则 M0可能太小，目前总体的中位数可能较M0大。如果 P(S+s-/H0) 则拒绝原假设。,2019/4/20,30,（二） Wilcoxon符号秩检验,版权所有 BY 统计学课程组,1、Wilcoxon符号秩检验的统计思想 Wilcoxon符号秩检验关于中位数对称的总体的中位数是否 否等于某个特定值，检验假设：,2019/4/20,31,版权所有 BY 统计学课程组,为了对假设做出判定，需要从总体中随机抽取n个样本。n个样本记作X1,Xn，它们与M0的差值记为Di,Di=Xi-M0 （
11、i=1，2，n）。如果H0为真，那么样本围绕M0上下 浮动，即Di关于0对称。 这时，对于Di来说，正的差值和负的差值应近似地相等。为了，借助秩统计量进行假设检验，先忽略符号，而取绝对值Di,对n个Di按大小顺序进行排序，并找出他们分别对应的n个秩。再按Di本身符号的正、负分别加总它们的秩，得到正秩的综合T+与负秩T-。虽然秩本身都是正的，但这里是Di的符号计算秩和。,2019/4/20,32,版权所有 BY 统计学课程组,H0为真时，正秩的总和与负秩的总和应该近似相等。如果正秩的总和远远大于负秩的总和，表明大部分的秩是正的差值，即Di为正的秩大。这时，数据支持备择假设H1:MM0，即实际的中
12、位数比M0大。 类似的，如果负秩的总和远远大于正秩的总和，表明大部分大的秩是负的差值，即Di为负的秩大。这时， 数据支持备择假设H1:MM0，即实际的中位数比M0小，因为正秩和负秩的总和是个恒定的值，即1+2+n=n(n+1)/2, 因此对于双侧备择H1:MM0来说，两个总和中无论哪一个太大，都可以被支持。,2019/4/20,33,版权所有 BY 统计学课程组,检验统计量 Wilcoxon符号秩检验所定义的检验统计量为： 正秩的总和T+ 负秩的总和T-,2019/4/20,34,版权所有 BY 统计学课程组,（1）计算Xi-M0，它们代表这些样本点到中位数的距离； （2）把上面的n个绝对值排
13、序，并找出它们的n个秩；如果有 相同的样本点，每个点取平均秩（如1，4，4，5的秩为1， 2.5，2.5，4）； （3）令T+等于Xi-M00的Xi-M0的秩和；T-等于Xi-M00 的Xi-M0的秩和。 注意：T+T-=n(n+1)/2;,2019/4/20,35,版权所有 BY 统计学课程组,(4)对双边检验：H0:M=M0；H1:MM0，在零假设下，T+与T-应差不多，因而，当其中之一非常小时，应怀疑零假设；在此，取检验统计量T=min(T+,T-)。类似地，对H0:M=MO;H1:MM0,取T=T-；对H0:M=M0；H1:MM0,取T=T+。 （5）根据得到的T值，查wilcoxon
14、符号秩检验的分布表得到在零假设下P一值。如果n很大要用正态近似；得到一个与T有关的正态随机变量Z的值，再查表得P-值。或直接用计算机得到P-值。 （6）如P-值较小（比如小于或等于给定的显著性水平0.05）则可以拒绝零假设。,2019/4/20,36,三、Cox-Stuart趋势检验,版权所有 BY 统计学课程组,【例6.4】我国自1985年到1996年出口和进口的差额（balance）（以亿美元为单位） -149.0 119.7 37.7 77.5 -66.0 87.4 80.5 43.5 122.2 54.0 167.0 122.2 从这个数字，我们能否说这个差额总的趋势是增长，还是减，还
15、是都不明显呢？下图为该数据的趋势图。从图可以看出，总趋势似乎是增长，但1993年有个低谷；这个低谷能否说明总趋势并不是增长的呢？我们希望利用统计方法对其是否具有趋势性进行检验。,2019/4/20,37,版权所有 BY 统计学课程组,2019/4/20,38,版权所有 BY 统计学课程组,1、H0：无增长趋势 H1：有增长趋势 2、H0：无减少趋势 H1：有减少趋势 3、H0：无趋势 H1：有增长或减少趋势 形式上，该检验问题可以重新叙述为：假定独立观察值 X1，Xn分别来自分布为F(X，i)的总体，这里F（.） 对称于零点。上面第一个单边检验为H0: 1=n， H1：i不尽相同。,2019/4/20,39,版权所有 BY 统计学课程组,当n为偶数时共有C对，当n为奇数时共有C-1对。在这个例子 中n=12，因而C=6。这6个对子为（X1，X7），（X2，X8），（X3，X9），（X4，X10），（X5，X11），（X6，X12）。 用每一对的两元素Di=Xi-Xi+c的符号来衡量增减。令S+为 Di=Xi-Xi+c大于零的数目，而令S-为Di=Xi-Xi+c小于零的数目。 显然当正号太多时，即S+很大时（或S-很小时），有下降趋势，反之，则有增长趋势。在没有趋势的零假设下它们应服从二项分布 b(n，0.5)，这里n为对子的数目（不包含差为0的对子），该检验在某种意义上是符号检
