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1、,1.1.2 正、余弦定理 在实际生活中的应用,Sine law, law of cosines in practical life utilization,课前回顾,（1）三角形常用公式：,（2）正弦定理应用范围：,已知两角和任意边，求其他两边和一角,已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况),正弦定理：,（3）、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,（4）、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题： （1）已知三边求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。,了解有关测量术语: a.仰角和俯角是指与目标视
2、线在同一垂直平 面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平 视线的目标视线上方时叫仰角,目标视线在水 平视线的下方的时叫俯角. b.方向角是指从指定方向线到目标方向线的 水平角,如北偏东300,南偏西450. c.方位角是指从正北方向是顺时针旋转到目 标方向线的水平角. d.坡度是坡面与水平面所成的角的度数.,上方,下方,下面是几个测量距离问题,实例一,1,如图,设A,B两点在河的两岸.需要测量A,B两点间的距离,测量者在A的同侧河岸边选定一点C.测出AC=55米, ， .求A,B两点间的距离., BAC=45,例2、如图，为了测量河对岸两点、之间 的距离，在河岸这边取点，测得ADC =85,
3、BDC=60, ACD=47, BCD= 72,CD=100m.设，在同一个平 面内，试求，之间的距离（精确到m）,解：在中， ADC 85, ACD=47, 则 D=4，又 100，由正弦定理，得：,在中， BDC=60, BCD=72, 则DC=又100，,由正弦定理，得,在中，由余弦定理，得,所以（m）.,答：，两点之间的距离约为m.,4.如图,隔河看两目标A、B，但不能到达， 在岸边选取相距 千米的C、D两点，并测 得ACB=750,BCD=450,ADC=300，ADB =450(A、B、C、D在同一平面)，求两目标AB 之间的距离。,学生练习,（1）准确地理解题意； （2）正确地作
4、出图形； （3）把已知和要求的量尽量集中在有关三 角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺 序地解这些三角形； （）再根据实际意义和精确度的要求给出 答案,解三角形应用题的一般步骤：,测量距离的方法：,测量两点间距离,把距离看成三角形的边,利用正余定理进行求解,实际问题,解三角形问题,二、关于测量 的问题,高度,练习1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底 部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是,，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。,图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？,想一想,实例讲解,实例讲解,分析：如图，因为AB=AA1+A1B
5、，又 已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。,解：,答：烟囱的高为 29.9m.,例4 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角5440，在塔底C处测得A处的俯角501已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m),分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长,解：在ABC中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，,CD=BD-BC177-27.3=150(m),答：山的高度约为150米。,例5:一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25的方
6、向上，仰角8，求此山的高度CD.,分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。,解：在ABC中，C=25-15=10. 根据正弦定理，,CD=BCtanDBCBCtan81047(m),答：山的高度约为1047米。,15,25,8,三、下面是几个测量角度问题,例、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出 呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该 渔轮在方位角为，距离为10n mile的 处，并测得渔轮正沿方位角为105 的方向， 以n mile/h的速度向小岛靠拢我海军舰艇 立即以n mile/h的速度前去营救求舰艇 的航向和靠近渔轮所需的
7、时间（角度精确到 0.1 ,时间精确到min）,方位角：指从正北方向 顺时针旋转到目标方向线 的水平角,解：设舰艇收到信号后x h 在处靠拢渔轮，则 21x，x，又AC=10, ACB=45+(180 105)=120.,由余弦定理，得：,化简得：,解得：x=（h）=40(min)(负值舍去）,由正弦定理，得,所以21.8，方位角为45 + 21.8 =66.8 ,答：舰艇应沿着方位角66.8 的方向航行， 经过min就可靠近渔轮,1.如图，货轮在海上以40n mile/h的速度由B向C航行，航行的方位角140 ，在B处测得A处有灯塔，其方位角110 ，在C处观察灯塔A的方位角35 ，由B到C
8、需0.5h航行，求C到灯塔A的距离。,练习,练习2,练习一,如图.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即 前往救援.同时把消息告知在甲船的南偏西 .相距10海里C处的乙船,试问已船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处营救(角度精确到1).,练习二,同步地球卫星在赤道上空35800Km的轨道上,它每24小时绕地球一周,所以它定位于赤道上某一点的上空,如果此点与北京在同一条子午线上,北京的纬度是北纬40 ,求在北京观察此卫星的仰角(取地球半径是6400km),一海轮以20n mile/h的速度向正东航行, 它在A点测得灯塔P在船的北600东,2个小时
9、后船到达B点时,测得灯塔在船的北450东,求 (1)船在B点时与灯塔P的距离. (2)已知以P为圆心,55n mile的半径的圆形水 域内有暗礁,那么船工继续向正东航行,有无 触礁的危险.,学生练习二,练习三,某货轮在A处看灯塔S在北偏东 方向.它以每小时36海里的速度向正北方向航行,经过40分钟航行到B处看灯塔S在北偏东 方向.求此时货轮到灯塔S的距离.,5.在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯 角分别是30、60，则塔高为 m.,解析：如图所示，设塔高为h m.由题意及图可知： (200h)tan60 解得：h m.,答案：,4.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角
10、 为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、 乙两楼的高分别是 .,解析：如图，依题意有 甲楼的高度AB20tan60 20 米，又CMDB20米， CAM60，所以AMCM 米，故乙楼的高 度为CD20 米.,答案：20 米， 米,某人在高出海面600m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为30 ，航标B在南偏东60 ，俯角为45 ，求这两个航标间的距离。,练习六,练习二,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15的方向上，行驶5km后到达B处，测得山顶D位于正东北方,且由A到B的图中测得对山顶D的最大仰角为30 ,求山高,P15 练习2,2.测山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC=60m，塔顶B的仰角a是 45,已知山坡的倾斜角 是 30，求井架高BC。,
