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1、第九章 方差分析,第九章 方差分析,第一节 方差分析的基本问题 第二节 单因素方差分析 第三节 双因素方差分析,学习目标,解释方差分析的概念 解释方差分析的基本思想和原理 2. 掌握单因素方差分析的方法及应用 3. 掌握双因素方差分析的方法及应用,第一节 方差分析的基本问题,一. 方差分析的内容 二. 方差分析的原理 三. F 分布,什么是方差分析？ Analysis Of Variance-ANOVA,什么是方差分析? (概念要点),检验多个总体均值是否相等 通过对各观察数据误差来源的分析来判断多个总体均值是否相等,什么是方差分析? （一个例子）,【例8.1】某饮料生产企业研制出一种新型饮料
2、。饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表8-1。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。,什么是方差分析? （例子的进一步分析）,检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 设1为无色饮料的平均销售量，2粉色饮料的平均销售量，3为橘黄色饮料的平均销售量，4为绿色饮料的平均销售量，也就是检验下面的假设 H0: 1 2 3 4 H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等 检验上述假设所采用的方法就
3、是方差分析 方差分析问题就转换成研究不同水平下各个总体的均值是否有显著差异的问题。,方差分析的基本思想和原理,方差分析的基本思想和原理 （几个基本概念）,因素或因子 所要检验的对象称为因子 要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检验的因素或因子 水平 因素的具体表现称为水平 A1、A2、A3、 A4四种颜色就是因素的水平 观察值 在每个因素水平下得到的样本值 每种颜色饮料的销售量就是观察值,方差分析的基本思想和原理 （几个基本概念）,试验 这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验 总体 因素的每一个水平可以看作是一个总体 比如A1、A2、A3、 A4四种颜色可以看作是四个总体 样本
4、数据 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据,1. 比较两类误差，以检验均值是否相等 2. 比较的基础是方差比 3. 如果系统(处理)误差显著地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的 4. 误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的,方差分析的基本思想和原理,方差分析的基本思想和原理 （两类误差）,随机误差 在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间的差异 比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的 不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差 系统误差 在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的
5、差异 比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的。这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差,方差分析的基本思想和原理 （两类方差）,组内方差 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差 组内方差只包含随机误差 组间方差 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间的方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差,方差分析的基本思想和原理 （方差的比较）,如果不同颜色(水平)对销售量(结果)没有影响，那么在组间方差中
6、只包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接近1 如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异,方差分析中的基本假定,方差分析中的基本假定,每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布 各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同
7、 观察值是独立的 比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立,方差分析中的基本假定,在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等的问题 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值相等的证据也就越充分 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分,方差分析中基本假定, 如果原假设成立，即H0: m1 = m2 = m3 = m4 四种颜色饮料销售的均值都相等 没有系统误差 这意味着每个样本都来自均值为、方差为2的同一正态总体,方差分析中基本假定,如果备择假设成立，即H1
8、: mi (i=1，2，3，4)不全相等 至少有一个总体的均值是不同的 有系统误差 这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体,受不同因素的影响，研究所得的数据会不同。造成结果差异的原因可分成两类： 一类是不可控的随机因素的影响，这是人为很难控制的一类影响因素，称为随机变量； 另一类是研究中人为施加的可控因素对结果的影响，称为控制变量。,根据控制变量的个数，可以将方差分析分成单因素方差分析和多因素方差分析。 单因素方差分析的控制变量只有一个（但一个控制变量可以有多个观察水平） 多因素方差分析的控制变量有多个。,构造检验的统计量 (前例计算结果 ),双因素方差分析 （一个例子）,【例】有四个
9、品牌的彩电在五个地区销售，为分析彩电的品牌(因素A)和销售地区(因素B)对销售量是否有影响，对每个品牌在各地区的销售量取得以下数据，见下表。试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？,第二节 单因素方差分析,一. 单因素方差分析的步骤 二. 方差分析中的多重比较,单因素方差分析的数据结构,单因素方差分析的步骤 提出假设 构造检验统计量 统计决策,提出假设,一般提法 H0: m1 = m2 = mk (因素有k个水平） H1: m1 ，m2 ， ，mk不全相等 对前面的例子 H0: m1 = m2 = m3 = m4 颜色对销售量没有影响 H0: m1 ，m2 ，m3， m4不全相等 颜
10、色对销售量有影响,构造检验的统计量,为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 构造统计量需要计算 各水平的均值 全部观察值的总均值 离差平方和 均方(MS),构造检验的统计量 (计算水平的均值 ),假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为,式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xji 为第 i 个总体的第 j 个观察值,构造检验的统计量 (计算全部观察值的总均值 ),全部观察值的总和除以观察值的总个数 计算公式为,构造检验的统计量 (前例计算结果 ),构造检验的统计量 (计算总离差平方和 SST),全部观
11、察值 与总平均值 的离差平方和 反映全部观察值的离散状况 总离差平方和（总变异）其计算公式为,前例的计算结果： SST = (26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+(32.8-28.695)2 =115.9295,构造检验的统计量 (计算误差项平方和 SSW),每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和 反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离差平方和 该平方和反映的是随机误差的大小 误差项平方和（组内变异或是组内平方和）计算公式为,前例的计算结果：SSW = 39.084,构造检验的统计量 (计算水平项平方和 SSB),各组平均值 与总平均值 的离差平方和 反映各
12、总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为,前例的计算结果：SSB = 76.8455,构造检验的统计量 (三个平方和的关系)P259,总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSW)、水平项离差平方和 (SSB) 之间的关系,SST = SSW+ SSB,构造检验的统计量 (三个平方和的作用),SST反映了全部数据总的误差程度；SSW反映了随机误差的大小；SSB反映了随机误差和系统误差的大小 如果原假设成立，即H1 H2 Hk为真，则表明没有系统误差，组间平方和SSB除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大
13、；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小 为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量,构造检验的统计量 (计算均方 MS),各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度 三个平方和的自由度分别是 SST 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数 SSB的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数 SSW 的自由度为n-k,构造检验的统计量 (计
14、算均方 MS),SSB的均方也称组间方差，记为MSB，计算公式为,SSW的均方也称组内方差，记为MSW，计算公式为,构造检验的统计量 (计算检验的统计量 F ),将MSB和MSW进行对比，即得到所需要的检验统计量F 当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即,构造检验的统计量 (F分布与拒绝域),如果均值相等，F=MSB/MSW1,统计决策, 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出接受或拒绝原假设H0的决策 根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相应的临界值 F 若FF ，则拒绝原
15、假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素(A)对观察值有显著影响 若FF ，则不能拒绝原假设H0 ，表明所检验的因素(A)对观察值没有显著影响,单因素方差分析表 (基本结构),MSW,对照输出结果的ANOVA表,方差分析中的多重比较,方差分析中的多重比较 （作用）,多重比较是通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异 多重比较方法有多种，这里介绍Fisher提出的最小显著差异方法，简写为LSD（Least Significant Difference），该方法可用于判断到底哪些均值之间有差异 LSD方法是对检验两个总体均值是否相等的t检验方法的总体方差估计加以
16、修正(用MSW来代替)而得到的,方差分析中的多重比较 （步骤）,提出假设 H0: mi = mj (第i个总体的均值等于第j个总体的均值) H1: mi mj (第i个总体的均值不等于第j个总体的均值) 检验的统计量为,若|t|t，拒绝H0；若|t|t，不能拒绝H0,方差分析中的多重比较 （基于统计量xi-xj的LSD方法）,通过判断样本均值之差的大小来检验 H0 检验的统计量为 ：xi xj 检验的步骤为 提出假设 H0: mi = mj (第i个总体的均值等于第j个总体的均值) H1: mi mj (第i个总体的均值不等于第j个总体的均值) 计算LSD,若|xi-xj|LSD，拒绝H0，若|xi-xj|LSD ，不能拒绝H0,方差分析中的多重比较 （实例 ）,根据前面的计算结果: x1=27.3;x2=29.5; x3=26.4;x4=31.4 提出假设 H0: mi
