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1、第一节 绝对值不等式,主干知识梳理 一、绝对值三角不等式 1定理1：如果a，b是实数，则|ab| ，当且仅当 时，等号成立 2定理2：如果a，b，c是实数，那么 |ac| ，当且仅当 时，等号成立,|a|b|,ab0,|ab|bc|,(ab)(bc)0,二、绝对值不等式的解法 1不等式|x|a的解集：,2.|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法： (1)|axb|c ； (2)|axb|c (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法： 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；,caxbc,axbc或axbc,方法二：利用“零点
2、分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想,3|x|22|x|150的解集是_ 解析 |x|22|x|150， |x|5或|x|5. 答案 (，5)(5，),4若存在实数x满足不等式|x4|x3|a，则实数a的取值范围是_ 解析 由绝对值不等式的几何性质知， |x4|x3|(x4)(x3)|1， 所以函数y|x4|x3|的最小值为1， 又因为原不等式有实数解， 所以a的取值范围是(1，) 答案 (1，),关键要点点拨 1不等式|xa|xb|c的解就是数轴上到A(a)，B(b)两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具
3、有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解 2不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0且|a|b|；不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0且|a|b|.,绝对值不等式的解法,规律方法 形如|xa|xb|c不等式的常用解法： (1)零点分段讨论法，其步骤为： 求零点；划分区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值 (2)用|xa|xb|的几何意义求解 (3)数形结合，作出y|xa|xb|的图象，直观求解,其图象如图所示由图象可知，当且仅当x(0,2
4、)时，y0. 所以原不等式的解集是x|0x2,绝对值三角不等式的应用,绝对值不等式的证明,规律方法 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明,【高手支招】 解含有参数的绝对值不等式时，以下几点在备考时要高度关注： (1)要准确、熟练地利用绝对值的定义或公式法、平方法、几何意义法、零点分段讨论法等去掉绝对值 (2)去掉绝对值的几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能施行因此，我们在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定,(3)将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时强化函数；数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,
