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1、第三章 故障诊断的数学方法,目录,第一节 贝叶斯法,贝叶斯公式及应用 贝叶斯决策判据,一、贝叶斯公式及应用,设D1，D2，Dn为样本空间S的一个划分，如果以P(Di)表示事件Di发生的概率，且P(Di)0(i1，2，n)。对于任一事件x，P(x)0，则有,一、贝叶斯公式及应用,二、贝叶斯决策判据,贝叶斯方法更适用于下列场合,样本（子样）的数量（容量）不充分大，因而大子样统计理论不适宜的场合。 试验具有继承性，反映在统计学上就是要具有在试验之前已有先验信息的场合。,用这种方法进行分类时要求两点,要决策分类的参考总体的类别数是一定的。例如两类参考总体（正常状态D1和异常状态D2），或L类参考总体D
2、1，D2，DL（如良好、满意、可以、不满意、不允许、等）。 各类参考总体的概率分布是已知的，即每一类参考总体出现的先验概率P(Di)以及各类概率密度函数P(x/Di)是已知的 。,根据前面的假设，我们已知状态先验概率P(Dl)和P(D2)，和类别条件概率密度函数P(x/Dl)和P(x/D2)，在图3-1中示出一个特征，即d=1的类别条件概率密度函数，其中P(x/Dl)是正常状态下观测特征量x的类别条件概率密度，P(x/D2)是异常状态下观测特征量x的类别条件概率密度。如图3-2所示,二、贝叶斯决策判据,图3-1 类别条件概率密度函数,图3-2 状态的后验概率,（一）基于最小错误率的贝叶斯决策,
3、二、贝叶斯决策判据,（一）基于最小错误率的贝叶斯决策,这样，基于最小错误率的贝叶斯决策判据为：如果P(D1/x)P(D2/x)，则把待检模式向量x归类于正常状态类D1；反之，归类于异常状态类D2。上面的判据可简写为：(1) 如果,（3-2）,（2) 将式(3-1)代入式(3-2)，并消去共同的分母，可得：如果,（3-3）,(3) 由式(3-3)可得：,（3-4）,在统计学上，P(x/Di)称为似然函数，l (x)称为似然比，而P(D2)/P(D1)称为似然比阈值（即界限指标或门槛值）。,二、贝叶斯决策判据,（一）基于最小错误率的贝叶斯决策,解：利用贝叶斯公式算得D1和D2两类总体的后验概率 P
4、(D1/x)=0.818,P(D2/x)=1-0.818=0.182，根据贝叶斯决策判据(3-2)，有P(D1/x)0.818P(D2/x)0.182，所以，应把x归类于正常状态。,二、贝叶斯决策判据,风险是比错误更为广泛的概念，而风险又是和损失紧密相连的。 最小错误率贝叶斯决策是使误判率最小，尽可能做出正确判断。 所有可能采取的各种决策集合组成的空间称为决策空间或行为空间。 每个决策或行为都将带来一定的损失，它通常是决策和状态类的函数。我们可以用决策损失表来表示以上的关系。 决策损失表的一般形式如表3-1所示。,（二）基于最小风险的贝叶斯决策,二、贝叶斯决策判据,表3-1 决策损失表,（二）
5、基于最小风险的贝叶斯决策,二、贝叶斯决策判据,以上概念从决策论的观点可归纳如下： (1) 各观测向量x组成样本空间(特征空间)。 (2) 各状态类D1，D2，DL组成状态空间。 (3) 各决策1，2，a组成决策空间。 (4) 损失函数为(i , Dj)，i=1,2,a;j=1,2,L，损失函数(i , Dj)表示将一个本应属于Dj的模式向量误采用决策i时所带来的损失。可由决策表查得。 显然应有(i , Di)=0，(i , Dj)0，（ij）。,（二）基于最小风险的贝叶斯决策,二、贝叶斯决策判据,（二）基于最小风险的贝叶斯决策,当引入损失的概念后，就不能只根据后验概率的大小来做决策，还必须考虑
6、所采取的决策是否使损失最小。对于给定的x，如果我们采用决策i，则对状态类Dj来说，将i误判给D1,D(j-1)，D(j+1),，DL所造成的平均损失应为在采用决策i情况下的条件期望损失R(i/x),即：,（3-6),二、贝叶斯决策判据,（二）基于最小风险的贝叶斯决策,在决策论中又把采取决策i的条件期望损失R(i/x)称为条件风险。由于x是随机向量的观测值，对于x不同的观测值，采用决策i时，其条件风险的大小是不同的。所以究竟将采取哪一种决策将随x的取值而定。这样决策可看成随机向量x的函数，记为(x)，它本身也是一个随机变量。我们可以定义识别分类器的总期望风险R为：,（3-7）,式中dx是d维特征
7、空间的体积元， 积分是在整个特征空间进行。,二、贝叶斯决策判据,（二）基于最小风险的贝叶斯决策,在考虑误判带来的损失时，我们希望损失最小。 如果在采取每一个决策或行为时，都使其条件风险最小，则对所有的x作出决策时，其总期望风险也必然最小。这样的决策就是最小风险贝叶斯决策。,最小风险贝叶斯决策规则为：,二、贝叶斯决策判据,（二）基于最小风险的贝叶斯决策,解: 由例3.3的计算结果可知后验概率为P(D1/x)=0.818, P(D2/x)= 0.182； 再按(3-8)式计算出条件风险：,本例的结果恰与例3.3相反，这是因为这里影响决策结果的因素又多了一个“损失”。由于两类错误决策所造成的损失相差
8、很大，因此“损失”起了主导作用。,二、贝叶斯决策判据,第二节 时间序列法,定义,第二节 时间序列法,分类,第二节 时间序列法,特点,一、参数模型的定义,回归模型将随机变量yt分解成两个部分 其一是因变量(x1t，x2t xrt)，它代表某些已知的可变化因素 另一部分是残差t,这是由随机因素及测量误差产生的，通常假定t是零均值的独立序列，与前一部分相互独立。,（一）回归模型,一、参数模型的定义,（二）自回归模型AR(n),通过测量并经A/D变换获得一组随机信号的时间序列xt， t1，2，n，参照回归模型并作一定修改得到一类新的线性模型：,一、参数模型的定义,（三）滑动平均模型MA(m),当只考虑
9、不同时刻的输入白噪声t、t-1、t-2、t-m对观测值的影响时，与AR(n)模型有类似的新的线性模型。,一、参数模型的定义,（四）自回归滑动平均模型ARMA(n，m),对一个平稳的随机序列，若对输出xt作自回归模型模拟，残差序列t不符合上述假定，即t不是白噪声，则是不合适的。此时，常用下列更广泛的线性模型来描述，即：,一、参数模型的定义,（四）自回归滑动平均模型ARMA(n，m),若Bk表示k步线性后移算子， 即：Bkxtxt-k，Bktt-k，Bkcc（c为常数）；并令：,于是式（3-12）可写为：,把(B)和(B)作为算子B的多项式，通常假定它们之间不出现公共因子。对于随机ARMA(n，m
10、)模型，其基本假设是，假设系统的输入t是均值为0，方差为的白噪声序列。,二、建模,建模是指对观测时序拟合出适用的AR(n)或ARMA(n，m)模型，其主要内容是数据的采集与预处理、模型参数估计和模型阶数的确定。,二、建模,（一）数据的采集与预处理,对连续信号进行采样，获得时间序列xt。 采样频率应等于或大于信号中需要分析或有关最高频率的两倍。 获得的xt应进行平稳性检验和零均值处理等。,二、建模,（二）参数估计,这是建模的关键，即要估计出AR(n)模型中的i (i=1，n)。 常用的方法有最小二乘估计、U-C法估计、Marple法估计和Levinson法估计等。它们在估计精度、速度、需用计算机
11、内存大小等方面各不相同。 对于ARMA(n,m)模型的参数估计比较复杂，必须采用非线性回归方法。常用的有长回归计算残差法和先后估计法。,二、建模,常用的方法有： 根据n值，由经验可初定m的大小，如表3-2所示。,（三）模型的定阶,1.经验定阶法,二、建模,（三）模型的定阶,2.对AR(n)模型可用FPE准则,FPE值最小时的n即为适用的模型阶数。式中，N为样本长度，为模型的残差方差。,（3-15）,二、建模,（三）模型的定阶,3.AIC准则,对AR(n)和ARMA(n，m)模型均适用。,(3-16),二、建模,建模过程如图3-3所示，先按定阶准则建立适用的ARMA(n,n-1)模型，因为它比A
12、RMA(n,m)简单。模型进行动态数据拟合时可取n的增量为2，即ARMA(2n,2n-1)，从低到高，最后选合适阶次的模型。然后可以进一步寻找更合适的ARMA(n,m)模型(mn+1)。在机械设备诊断中，一般常用AR(n)模型或ARMA(n,n-1)模型。,（三）模型的定阶,4 .常用的建模过程,图3-3 ARMA模型建模过程,建立ARMA(n,m)模型所用观测时序xt蕴含着系统特性与系统工作状态的所有信息，因而基于xt按某一方法估计出来的(n+m+1)个模型参数1，2，n；1，2，m和 中也必然蕴含着这些信息，这正是所有参数模型的一个最大的特点，即将大量数据所蕴含的信息凝聚成为少数若干个模型
13、参数。可依据模型参数，特别是直接根据1，2进行系统的故障诊断。,三、时间序列法在故障诊断中的应用,（一）根据模型参数进行故障诊断,三、时间序列法在故障诊断中的应用,为在线监控金属切削过程颤振的发生与发展，在车床尾架顶尖处测取振动加速度信号，根据加速度时序建立AR模型，在远离颤振时，每隔3.6秒采样一次，建模一次，而在临近颤振发生时，每隔0.9秒采样一次，建模一次，图3-4示出了颤振从无到有这一发展过程AR模型参数1的变化规律。,例3.5,由图可见，在远离颤振以前的4次采 样间隔的时间14.4秒内， 1变化 平坦；在第4次采样后颤振即将发 生，1急剧增大， 然后维持较大 的数值。根据这种急剧增大
14、的趋势， 可建立报警限信号，以便采取控制 措施，大量试验表明，AR(2)模型的第二个参数2对系统阻尼比的影响较大，而1的影响则小得多。因此，可以把对系统稳定性按阻尼比的判别转变为按2值判别，即当待检状态的2.T接近参考状态的某上临界值2.R时，颤振有可能即将发生。,（二）根据方差进行故障诊断,三、时间序列法在故障诊断中的应用,信号的方差 和模型残差方差 含有系统状态的大量信息 。 的算式为：,其中 是的序xt的均值，显然 可由信号直接算得； 可由模型算得，其算式为,三、时间序列法在故障诊断中的应用,诊断电机转子质量偏心 +偏心质量0克 偏心质量9.1克 偏心质量27.2克 偏心质量45.2克
15、偏心质量90.7克,图中 是电机正常运行时 的均值， 是 的上限，横坐标是按偏心质量的大小对电机状态的编号。由图可见，偏心质量越大， 也越大，从而可根据待检信号算得的 判断电机偏心质量的大小,三、时间序列法在故障诊断中的应用,（二）根据方差进行故障诊断,第三节 灰色系统法,一、概述,灰色系统理论是我国学者邓聚龙教授于1982年首先提 出的。灰色系统是指系统的部分信息已知，部分信息未知 的系统；区分白色系统与灰色系统的重要标志是系统各因 素之间是否具有确定的关系。当各因素之间存在明确的映 射关系时，就是白色系统，否则就是灰色系统或一无所知 的黑色系统。 灰色系统理论是控制论的观点和方法的延拓，它是从系统的角度出发，按某种逻辑推理和理性认识来研究信息间的关系。,第三节 灰色系统法,二、灰色模型关联分析诊断法,设系统要建立的故障标准模式特征向量的个数，即要诊断的故障种类数为m，每种标准模式特征向量中所包含的元素个数为n，则可建立相应的故障标准模式特征向量矩阵：,第三节 灰色系统法,二、灰色模型关联分析诊断法,设实测信号的待检特征向量为 现研究待检特征向量yT与标准特征向量矩阵XR的关 联程度。 现定义待检特征向量yT与标准特征向量矩阵XR中各标准模式特征向量对应的元素的最小绝对差值为：,（3-21）,第三节 灰色系统法,用r
