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1、2.5.2 平面向量应用举例,平面几何中的常用向量结论,三角形四心的向量表示,外,重,三角形四心的向量表示,内,垂,例1、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,则P点的轨迹一定通过ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心,点拨：由,得出,由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过ABC的重心。,C,变式1、已知P是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，点O满足,则O点一定是ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心,点拨：由,得出,故O是ABC的重心。,C,变式2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满
2、足,则P点的轨迹一定通过ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心,点拨：在ABC中，由正弦定理有,令,则,由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过ABC的重心。,C,例2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,则P点的轨迹一定通过ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心,点拨：取BC的中点D，则,由已知条件可得,又因为,所以,所以DP是BC的垂直平分线，所以P点的轨迹一定经过ABC的外心。,A,外心的向量表示,结论2：ABC所在平面一定点O，动点P满足 P点轨迹经过ABC的外心,结论1：O是三角形的外心,或,例3、已知O是平面上一定点
3、，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,则P点的轨迹一定通过ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心,点拨：由已知等式可知,在等式的两边同时乘以,即,故点P的轨迹一定通过ABC的垂心。,D,变式3、已知O是平面上一点，A,B,C是平面上不共线的三个点，点O满足,则O点一定是ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心,点拨：,同理可得,D,垂心的向量表示,结论1：O是ABC的垂心的充要条件是,结论2、动点P满足 P点的轨迹经过ABC的垂心,例4、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线的三个点,(a,b,c是ABC的A,B,C所对的三边)点O满足,则O点一定
4、是ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心,点拨：由已知条件可得,同理可得,则O点一定是ABC的内心,B,例5、已知非零向量 与 满足,且,，则ABC为（ ） A 三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形,点拨：从 可知 的平分线垂 直对边BC，故ABC为等腰三角形；,可知cosA= ，所以 =60， 故ABC为等边三角形。,从,D,例6、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线的三个点,点O满足,则O点一定是ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心,则O点一定是ABC的内心,四心逐个突破,B,证：设,例7、已知O为ABC所在平面内一点，且满足:,问：O是ABC的_心。,化简：,同理：,从而,课后作业,2.预习章末小结,1.习题2.5.2,
