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1、第一章 绪论,1绪论 2 实数连续统,1 绪论,主要内容: 微积分 主要目的:建立一套连续量的运算体系及数学理论 主要研究：一个连续量随另外一个连续量连续地变化的规律。,连续量: 生活中最常见的量。 最基本的两个连续量是： 时间 t ，位移 s。,两个基本问题,1、一个连续量随另一个连续量变化的“瞬时”变化率。几何上是求曲线的切线问题 微分运算 2、计算一个连续量的连续作用的总和或积累 。几何上是求曲线下的曲边梯形的面积问题 积分运算 以上两种运算是互逆的,问题1 问题2,几何上求曲线的切线问题,微分运算,几何上求曲边梯形的面积,积分运算,形成一套连续量的运算体系,学习方法,物理的背景模型（实
2、物） 几何的形象直观（形象） 抽象的演算推理（数量） 三者的结合。, 2 实数连续统,量,离散量,连续量,1、以个体的形式存在，“论个儿”有 最小的单位，不能分。,在数量上可以问多少个，“数一数”,2、在数学上的表示：正整数：1, 2, 3 或者说：正整数是离散量的数学模型。,1、没有最小的单位，无限可分,2、连续量的数学表示？ 要能进行运算-需要数系的概念,例如：位移： 千米 米cmmm微米纳米,集合：把某些东西作为一个整体,称为一个集合,其中的每一个东西称为这个集合的一个元素. 常见的数集：正整数集，整数集，有理数集，实数集, 等. 数系：定义了若干种运算的数集，这些运算满足一定的规律.
3、例如：正整数集 N+ 及其上的加法和乘法运算和在一起构成了正整数系. 1、运算； 2、数集S对运算的封闭性; 3、运算规律.,几个最重要的数系,正整数系(加乘和大小关系) N+ 整数系(加减乘和大小关系) Z 有理数系(加减乘除和大小关系) Q 实数系(加减乘除和大小关系) R,连续量的数学表示问题,连续量的几何模型: (直线)数轴,即：有理数与数轴上的点是否一一对应？,有理数,数轴上的有理点,有理点填满整个数轴,有理数系是连续量的数学表示,稠密,?,?,?,A,OU = 1, RtOUB 为一等腰直角三角形. 再以 OB 为半径作圆与数轴交与点 A，则 OA = . 由此可见，OA 不能用一
4、个有理数表示出来，即 A 不是一个有理点.,定理1.1 不存在有理数 ，使得 .,证明:,用反证法。, 其中 p, q,是互素的正整数，使得,，即 p2 = 2 q2,可见,从而 p 是偶数.,p2 是偶数，,设 p = 2l, l N+, 则 4 l 2 =,2 q2, 即 2 l 2 = q2.,这表明 q2 是偶数, 从而 q 是偶数.,这与 p, q 互素相矛盾.,故不存在有理数,，使得 .,如果不然，设存在有理数,说明：,有理数与数轴上的点不是一一对应关系 若把直线看成是连续的，那么有理点集就是不连续的，或者说有理数系本身是不连续的 有理数系有空隙。 例：在平方大于 2 的正数与平方
5、小于 2 的正数之间断开了。 事实上：在整个有理数系中到处都是空隙。从而有理数系不能刻画连续量。即不能作为连续量的数学表示。那么，用什么量来表示连续量呢？,思路：扩充有理数系，使新数系是“连续的”,问题：如何扩充？,一个直接的想法：在有理数系中加进一些数，让它们对应于那些空隙，即把数轴上的空隙都填满了，这样就可以得到一个“连续”的数系。,与原来有理数的运算是否一致？大小关系是否不变？ 填多少? 怎么算填满了？,问题：如何判断一个数系是连续的？（即：找出连续量的数学特征。）,Dedekind的名著连续性与无理数中写道： “经过长期徒劳的思考，我终于发现，它的实质是很平凡的。直线上的一点，把直线分
6、成左右两部分，连续性的本质就在于返回去：把直线分割成左右两部分，必有唯一的分点”,把这句话翻译成数系的语言，我们引入下面的概念。,定义1.1 若把一个有大小顺序的数系 S 分成 A, B 两类 (属性为集合), 满足下面的性质：,1、不空：A 与 B 都至少包含 S 中的一个数；,2、不漏：S 中的每个数或者属于 A 或者属于 B；,3、不乱：A中的任一个数 a，均小于 B 中的任何数 b，即对于任意 a A，b B，有 a b.,则称 A, B 为系数 S 的一个分划，记为 A|B。A 称为分划的下类，B 称为上类。,Dedekind连续性准则,设 S 为有大小顺序的稠密的数系，,若对它的任
7、一个划分,都有 S 中唯一的数存在，,它不小于下类中的每个数，,也不大于上类中的每一个数，,那么称数系 S 是连续的.,用符号写：,对 S 的任一个划分A|B，存在唯一的 c S,使得 a A，b B，有 a c b.,若 c A,c 是 A 的最大数,若 c B,c 是 B 的最小数,称一个有大小顺序的稠密的数系 S 是连续的 ，如果对 S 的每个分划 A|B，或者 A 有最大数，或者 B 有最小数。,等价于：,按Dedekind的准则，可以证明,有理数系 Q 是不连续的。 只需找出有理数的一个分划 A | B ，使 A 无最大数且 B 无最小数,如何找?,想到,(平方等于 2的数）,P10
8、：例 4,Q 分成以下两类,A= a | a Q , a0 或 a 0 但 a2 2 ,B= a | b Q , b 0 但 b2 2 ,这是 Q 的一个分划。证明：A中无最大数，B中无最小数,我们先来证明：B 中无最小数,证明：,要证对于任意 b B，可找到 b1B 使 b1 b,b B,b Q , b 0, b2 2,由有理数的稠密性可知存在有理数 r 使,为有理数且大于零,从而,b2 2 2br,b2 2br 2,b2 2br + r22,(b r)2 2,取 b1 = b r,b1Q , b1 0 但 b12 2,b1 = b r,再证明 A 中无最大数,证:,设 a A , 要证存在
9、 a1A 使 a a1,若a 0 取 r = 1, r A, a r,若a 0 且 a2 2,要证存在有理数 r 0 , 使得 (a + r)2 2,这时 a1 = a + r A, a a1,倒着推,(a + r)2 2,要使此不等式成立, 只需,只要找到一个即可，所以不妨设 ra,0 r a ，,可知,由,和有理数的稠密性。,存在有理数 r，,即 只要,使得,即,且,(a + r)2 2,取,a1a + r,则,a a1 且 a1 a + r,A 中无最大数,下面我们证明实数系是连续的,复习和约定,实数就是十进无穷小数,写成,其中,是整数,是满足,什么是实数?,注意:,当,时这种无穷小数与
10、通常的无穷小数,不同,而与对数计算中的小数表示法类似,例: 记,写成,对有尽小数，我们用循环为 0 的有尽小数表示，而不用循环节为 9的无穷小数表示。,是有尽小数，,而不用,例如：,如何比较两个实数的大小：,规定：9不能做循环节。,原则：从左到右一位一位地比，谁最先出现大数谁就大.,若存在,使得当,时,，而,，则定义,体现了此种小数表示法的优点(正负统一),用数学语言表示出来：,易知,这样定义的实数的性质满足性质 (A) (D) 实数是稠密的,实数基本定理(Dedekind实数连续性定理),实数系 R 是连续的。即对 R 的每一个分划A|B，都存在唯一的实数 r，它大于或等于下类 A 中的每一个实数，小于或等于上类 B 中的每一个实数。,证明：,设 A|B 是实数系 R 的任一个分划，,存在唯一的实数 r R，使得,要证：,思路：把 r 具体 表示出来,具体见课本P11,内容小结,我们要研究数系，因为数学的主要目的是算，而只有数系才能算，离散量的数学模型是正整数系，它对减法运算不封闭，因此把他扩充成整数系，整数系对除法运算不封闭，因此把它扩充成有理数系，有理数对四则运算都封闭了，但他本身是不连续的，因此把它扩充成实数系。实数系本身是连续的，于是它成为了数学分析的活动舞台。,
