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1、相阳教育“黉门云”高考等值试卷模拟卷(全国I卷)理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足,则复平面内表示的点位于( ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.设全集为，集合，,则=( ）A（-3，0） B(-3,-1) C D(-3,3)3.下列命题中，假命题是( )A B C的充要条件是 D是的充分不必要条件 4.设是等比数列，为其前项和，若，则=（ ）A B4 C. D85.某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为( ).A7 B C.6 D6
2、.已知,满足约束条件，若的最小值为1，则=（ ）A2 B1 C. D7.设,在区间上随机产生1000 个随机数，构成5000 个数对，记满足的数对的个数为,则估计值约为( )A3333 B3000 C.2000 D16678.己知为双曲线右支上一点，为双曲线右焦点，若(为坐标原点)为等边三角形，则双曲线的离心率为( ）A B C. D9.如果执行下边的程序框图，输入正整数,实数.分别为2,7,4,5，1,3，6，8,则输出分别为( )A8和1 B5和4 C.4和5 D1和810.若,则( )A B C. D11.设抛物线的焦点为,为上纵坐标不相等的两点，满足，则线段 的垂直平分线被轴截得的截距
3、为( )A2 B3 C.4 D512.己知函数有一个零点，则（ ）A-2 B-1 C.0 D2第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量满足:,则 14.的展开式中，的系数为 15.九章算术是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学，九章算术在数学上有其独到的成就，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。下面问题源自其中:“今有金籌(chui),长五尺，斩本一尺，重四斤，斩来一尺，重二斤，问金籌重几何?”意思是:“有长5尺的一根金籌，一头粗一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤; 在细的一端截下一尺，重2 斤: 问金籌重
4、多少斤?”，将以上问题一般化，可表述为: 有长尺的一根金籌，一头粗一头细，(质量均匀变化)，在两端各截下1尺，截下的部分分别重斤和斤: 问金籌原来的重量为多少斤? 答案为_(用的代数式表示)16.设四棱锥的底面是一个正方形，5 个顶点都在一个半径为1的球面上，则四棱锥的体积的最大值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，已知(l) 求;(2) 设是边中点，求. 18.如图，在四棱锥中，,侧面为等边三角形.(l) 证明: 平面;(2) 求与平面所成的角的正弦值. 19.某保险公司针对电动自行车车主推出甲、乙两种保险，假设某地共有2000
5、0名车主，每名车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立。(l) 用表示该地的20000位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数.求的期望:(2) 设有10000人购买了甲种保险，每一份的保费为60元，根据统计，一年内甲种保险的出险率(即每位投保人出险的概率)为1%，一旦出险，保险公司赔偿出险车主5000元(每年对每一名购买了甲种保险的车主最多赔偿一次,利用附表给出的数据，估算保险公司在该保险中的获得的利润的数学期望在1OOOOO元200000元之间的概率. (利润=总保费收入一总赔偿支出)附表：607080901001101200.1
6、300.2200.3330.5420.5850.6700.70220.设圆(圆心为); ,圆(圆心为; ,定点，为直线上异于的一点，和分别为圆、圆上异于 的点，满足,直线和交于点,记的轨迹为曲线.(1) 求证: 曲线为椭圆(或椭圆的一部分)，并写出的方程;(2) 设的上顶点为,过点的直线与椭圆交于两点(异于)，求证: 直线和的斜率之和为定值，并求出这个定值. 21.已知函数，(l) 证明:并讨论时的单调区间;(2) 若存在，使得对任意的，都有，求的取值范围，并证明: 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，设直线(
7、为参数)，曲线(为参数)，在以为极点、正半轴为极轴的极坐标系中:(1) 求和的极坐标方程:(2) 设曲线.曲线,分别与交于两点，若的中点在直线上，求.23.选修4-5：不等式选讲设均为正数并满足(1) 证明: ;(2) 求的最大值2018年相阳教育“黉门云”高考等值试卷模拟卷理科数学（全国I卷）答案123456789101112DCCABCADADBB13、 14、90 15、 16、17、解：（1）且A+B+C=180，B=45 在ABC中，由正弦定理得： （2）D为AB边中点， 即CD= （或利用求解）18.解法一：(1)取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DECB2.，连结S
8、E，则SEAB，.又SD1，故ED2SE2SD2，所以DSE为直角由ABDE，ABSE，DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD.SD与两条相交直线AB、SE都垂直所以SD平面SAB. (2)由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE.作SFDE，垂足为F，则SF平面ABCD，.作FGBC，垂足为G，则FGDC1.连结SG，则SGBC.又BCFG，SGFGG，故BC平面SFG，平面SBC平面SFG.作FHSG，H为垂足，则FH平面SBC.，即F到平面SBC的距离为.由于EDBC，所以ED平面SBC，E到平面SBC的距离d也为.设AB与平面SBC所成的角为，则. 解法二：以C为坐标原点，射线C
9、D为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设D(1，0，0)，则A(2，2，0)，B(0，2，0)又设S(x，y，z)，则x0，y0，z (1) (x2，y2，z)，(x，y2，z)，(x1，y，z)，由得，故x1.由得y2z21，又由得x2(y2)2z24，即y2z24y10，故，.于是，.故DSAS，DSBS，又ASBSS，所以SD平面SAB. (2)设平面SBC的法向量a(m，n，p)，则，.又，易得又，.故AB与平面SBC所成的角得正弦值为 19.(1)p=1(0.5+0.3)=0.2；XB(20000，0.2)，EX=4000 (2)设出险人数为随机变量Z，则ZB(100
10、00，0.01)利润Y=600.5Z10,20)，(单位：万元)解得Z80，100)P(Z80,100)=P(100)P(80)=0.252 20.(1)依题意，BE、BD分别为圆M、圆N的切线，BA为两个圆的公切线所以 BD=BA=BE ，故RTPBERTPBD，从而PE=PD故PM+PN= DM+PD+ PN=DM+PE+PN=DM+EN=4 故P的轨迹是以M、N为焦点、长轴为4的椭圆 (去掉x轴上的点) 其方程为： (y0) (2) 依题意：H(0，)，当直线RS不与y轴平行时，设其方程为y=kx+m，其中m=k带入椭圆方程化简得： (4k2+3)x2+8kmx+4m212=0故x1+x
11、2= x1x2= kHR+kHS= = 当直线RS与y轴平行时，其方程为x=1，带入椭圆解得R(1，)，S(1，)， 此时kHR+kHS= 故kHR+kHS为定值 21.(1) g(x)=xex，故g(x)在(,0)为减，(0,+)为增故g(x)g(0)=0 f(x)=(x2)ex+(x+2)，f(x)=g(x)0，且仅当x=0时相等故f(x)在R上为增函数又因为f(0)=0所以当x0时f(x)0时f(x)0故f(x)在(,0)为减，(0,+)为增 (2) f(x)=(x2)ex+a(x+2)= (x+2)设h(x)= 则h(x)= 0所以h(x)在(0，2)上为增函数，而h(0)=a1，h(2)=a若a0，则当x(0,2)，h(x)0，即f(x)0，所以f(x)在(0,2)上为减函数，不符题意；同理当a1时f(x)在(0,2)上为增函数，不符题意；当0a1时，h(x)在(0,2)上有一个零点，设为x0，则当x(0，x0)时，h(x)0，即f(x)0，即f(x)0，f(x)在(x0，2)上为增函数，故f(x)f(x0)，符合题意所以 0a1
