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1、河北省武邑中学2019届高三上学期第二次调研考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设是虚数单位，若复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】复数故选A2.已知复数为纯虚数虚数单位，则实数A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】，再根据复数为纯虚数得和，解之即得解.【详解】为纯虚数，故选：B【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.设向量满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】给已知式子两边同时平方，然后两相减即可.【详解】由已知可得 ，两束相减可得=1.故选A.【点睛】
2、本题考查向量的数量积的运算，属基础题.4.已知实数a，b满足，则函数的零点所在的区间是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由，得，.所以零点在区间.考点：零点与二分法.5.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lg x的定义域和值域相同的是( )A. yxB. ylg xC. y2xD. y【答案】D【解析】试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用6.已知函数，若函数在区间上有最值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，.当时，在上恒成立，即函数在上单调递减，函数在区间上无最值；
3、当时，设，则，在上为减函数，又，若函数在区间上有最值，则函数有极值，即有解，得.故选A.考点：1、函数的最值；2、导数及其应用.【方法点晴】本题考查导函数的最值导数及其应用，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.本题的关键是利用分类讨论思想进行解题，即： 当时，在上恒成立，即函数在上单调递减，函数在区间上无最值；当时，设，则，在上为减函数，又，若函数在区间上有最值，则函数有极值，即有解，得.7.某学校位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动
4、通知的信息独立，随机地发给位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A、B相互独立，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为故选C【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率
5、这样可减少计算，保证正确8.设变量x，y满足则2x+3y的最大值为A. 20B. 35C. 45D. 55【答案】D【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.考点：线性规划.9.已知的三边满足条件，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后确定的大小即可.【详解】由可得：，则，据此可得.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查余弦定理及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.设，函数，则的值等于A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】先求出，从而，由此能求出结果【详解】，函数，故选：C【
6、点睛】本题考查分段函数值的求法，考查指对数函数运算求解能力，属基础题11.已知平面向量满足且,则向量与夹角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：选D考点：向量夹角12.设F，B分别为椭圆的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，由平面向量加法法则，则与交点为的中点，故，联立直线方程与椭圆方程可解得C点坐标，而四边形面积用两种方法表示中可得的等量关系，从而中求得离心率【详解】根据，由平面向量加法法则，则与交点为的中点，故 ，联立椭圆、直线方程，可得 ，则 可得 故选：
7、A点睛：本题的考查的知识点是椭圆的简单性质，其中求出C点的坐标，是解答本题的关键属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线ye5x2在点(0，3)处的切线方程为_【答案】.【解析】【分析】先利用导数求切线的斜率，再写出切线方程.【详解】因为y5e5x，所以切线的斜率k5e05，所以切线方程是：y35(x0)，即y5x3.故答案为：y5x3.【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和函数的求导，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是14.不等式的解集是_【答案】【解析】分析：把不等式化为同底的不等式，利
8、用指数函数的单调性即可求解详解：原不等式可以化为，所以，故或者，不等式的解集为，填点睛：一般地，对于不等式，（1）如果，则原不等式等价于 ；（2）如果，则原不等式等价于 .15.已知满足约束条件，且的最小值为2，则常数_【答案】2【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标，然后代入，由的最小值为求得的值。【详解】满足约束条件作可行域如图：由可得直线方程由图可知，当直线过可行域内的点时，最小联立，可得，在直线上则，解得故答案为【点睛】本题主要考查了简单线性规划，利用图像平行求得目标函数的最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本
9、方法，属于基础题。16.设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】把函数f(x)变成两个函数，的图像问题。【详解】设，则，当时，当或时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，取得极小值，作出与的函数图象如图：显然当时，在上恒成立，即无正整数解，要使存在唯一的正整数，使得，显然，即，解得故答案为【点睛】函数零点问题，恒成立与存在性问题，若能分离参数，则通过分离参数可得出参数的范围，若不能分离参数，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.三、解答题（本大题共7小题）17.已知数列的前项和满足（
10、1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（）由数列an的前n项和Sn满足Sn=，利用，能求出数列an的通项公式（）推导出，由此利用错位相减法能求出数列bn的前n项和【详解】解：（）当时，；当时，符合上式.综上，.（）.则，.【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.在心理学研究中，常采用对比试
11、验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率。（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.【答案】（1） （2）见解析【解析】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，计算即得(II)由题意知X可取的
12、值为：.利用超几何分布概率计算公式得X的分布列为X01234P进一步计算X的数学期望.试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则(II)由题意知X可取的值为：.则因此X的分布列为X01234PX的数学期望是=【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.19.已知多面体，均垂直于平面，（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值【答案
13、】(1)见解析；（2）直线与平面所成的角的正弦值为.【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理，要证平面，只需证与平面两条相交直线垂直。根据已知条件可求与的长度，然后跟据勾股定理可证.。同理可得.，进而可得平面。（2）要求直线与平面所成的角的正弦值，应先作角。由条件可得平面平面 。所以过点作，交直线于点，连结. 可知是与平面所成的角.根据条件可求的三边长，进而可由余弦定理求得 ，然后可求。进而求得，在中即可求得结果。【详解】（1）由得，所以.故.由， 得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（2）如图，过点作，交直线于点，连结. 由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所
14、以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（1）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.（2）设直线与平面所成的角为.由（）可知设平面的法向量.由即可取.所以.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.【点睛】立体几何中证明直线与平面垂直，应该利用直线与平面垂直的判定定理。注意直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直之间的互相转化。其中直线与直线垂直是基础，证明直线与直线垂直方法有：勾股定理；直线与平面垂直的定义；若 等腰三角形三线合一，菱形对角线互相垂直，等初中几何知识。20.已知函数其中，为常数且在处取得极值1当时，求的单调区间；2若在上的最大值为1，求的值【答案】（1）见解析；（2）或【解析】【分析】由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式
