《高一数学教案：4-8正弦函数、余弦函数的图象和性质(4)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学教案：4-8正弦函数、余弦函数的图象和性质(4)（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网课 题：48正弦函数、余弦函数的图象和性质（4）教学目的：1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1y=sinx，xR和y=cosx，xR的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线 2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0)
2、 (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函数yxo1-1y=cosx x0,2p的五个点关键是(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1) 3定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或(，)，分别记作： ysinx，xR ycosx，xR4值域正弦函数、余弦函数的值域都是1，1其中正弦函数y=sinx,xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1而余弦函数ycosx，xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值15周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是
3、26奇偶性ysinx为奇函数，ycosx为偶函数正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称7单调性正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1二、讲解范例：例1 求函数ysin的单调增区间误解：令ysin在2k，2k(kZ)上递增2k2k解得4kx4k2原函数的单调递增区间为4k，4k2(kZ)分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令，忽视了是x的减
4、函数，未考虑复合后单调性的变化正解如下：解法一：令，则u是x的减函数又ysin在2k，2k(kZ)上为减函数，原函数在2k，2k(kZ)上递增设2k2k解得4k2x4k(kZ)原函数在4k2，4k(kZ)上单调递增解法二：将原函数变形为ysin因此只需求siny的减区间即可为增函数只需求sin的递减区间2k2k解之得：4k+2x4k+4(kZ)原函数的单调递增区间为4k2，4k4(kZ)一、利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性如sinx1，cosx1来求三角函数的最值例2 a、b是不相等的正数求y的最大值和最小值解：y是正值，故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小)y2ac
5、os2xbsin2x2asin2xbcos2xabab，(ab)20，0sin22x1当sin2x1时，即x(kZ)时，y有最大值；当sinx0时，即x (kZ)时，y有最小值二、利用三角函数的增减性如果f(x)在，上是增函数，则f(x)在，上有最大值f()，最小值f()；如果f(x)在，上是减函数，则f(x)在，上有最大值f()，最小值f()例3 在0x条件下，求ycos2xsinxcosx3sin2x的最大值和最小值解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y2sin2x32(cos2xsin2x)12 (cos2xcossin2xsin)12cos(2x)10x，2xcos(2x)在0，）上是
6、减函数故当x0时有最大值当x时有最小值1cos(2x)在，上是增函数故当x时，有最小值1当x时，有最大值综上所述，当x0时，ymax1当x时，ymin21三、换元法利用变量代换，我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解例4求f(x)sin4x2sin3xcosxsin2xcos2x2sinxcos3xcos4x的最大值和最小值解：f(x)(sin2xcos2x)22sin2xcos2x2sinxcosx(sin2xcos2x)sin2xcos2x=12sinxcosxsin2xcos2x令sin2x f()122(1)22 在的范围内求的最值当，即xk(kZ)时，f(x)max当，即x
7、k(kZ)时，f(x)min四、求三角函数最值时应注意的问题三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：1注意sinx、cosx自身的范围例5求函数ycos2x3sinx的最大值解：ycos2x3sinxsin2x3sinx1(sinx)21sinx1，当sinx1时，ymax3说明：解此题易忽视sinx1，1这一范围，认为sinx时，y有最大值，造成误解2注意条件中角的范围例6已知x，求函数ycos2xsinx的最小值解：ysin2xsinx1(sinx)2xsinx当sinx时ymin()2说明：解
8、此题注意了条件x，使本题正确求解，否则认为sinx1时y有最小值，产生误解3注意题中字母(参数)的讨论例7求函数ysin2xacosxa(0x)的最大值解：y1cos2xacosxa(cosx)2a当0a2时，cosx，ymaxa当a2时，cosx1，ymaxa当a0时，cosx0，ymaxa说明：解此题注意到参数a的变化情形，并就其变化讨论求解，否则认为cosx时，y有最大值会产生误解4注意代换后参数的等价性例8已知y2sincossincos(0)，求y的最大值、最小值解：设tsincossin()2sincos12y21()2又sin()，01当时，ymax当-1时，ymin1说明：此题在代换中，据范围，确定了参数1，从而正确求解，若忽视这一点，会发生时有最大值而无最小值的结论三、课堂练习：四、小结 三角函数最值的求解：三角函数最值是中学数学的一个重要内容，加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何之间的联系，培养学生的思维能力本课介绍了三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记： 6
