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1、【1.3】金属钾的临阈频率为5.46410-14s-1，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？解：【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：（a） 质量为10-10kg，运动速度为0.01ms-1的尘埃；（b） 动能为0.1eV的中子；（c） 动能为300eV的自由电子。解：根据关系式：(1)【1.7】子弹（质量0.01kg，速度1000ms-1），尘埃（质量10-9kg，速度10ms-1）、作布郎运动的花粉（质量10-13kg，速度1ms-1）、原子中电子（速度1000 ms-1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点
2、位置时，不确定度关系是否有实际意义？解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：子弹：尘埃：花粉：电子：【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约）观察不到电子衍射（用电压加速电子）。解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：这不确定度约为光学光栅周期的105倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的105倍，用光学光栅观察不到电子衍射。解法二：若电子位置的不确定度为106m，则由不确定关系决定的动量不确定度为：在104V的加速电压下，电子的动量为：由px和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为：这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察
3、不到电子衍射。【1.11】是算符的本征函数，求其本征值。解：应用量子力学基本假设（算符）和（本征函数，本征值和本征方程）得：因此，本征值为。【1.13】和对算符是否为本征函数？若是，求出本征值。解：，所以，是算符的本征函数，本征值为。而所以不是算符的本征函数。【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。证：在长度为的一维势箱中运动的粒子的波函数为： =1，2，3，令n和n表示不同的量子数，积分： 和皆为正整数，因而和皆为正整数，所以积分：根据定义，和互相正交。【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为 式中是势箱的长度，是粒子的坐标，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均值。
4、解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：即：（2）由于无本征值，只能求粒子坐标的平均值：（3）由于无本征值。按下式计算px的平均值:【1.19】若在下一离子中运动的电子可用一维势箱近似表示其运动特征：估计这一势箱的长度，根据能级公式估算电子跃迁时所吸收的光的波长，并与实验值510.0比较。解：该离子共有10个电子，当离子处于基态时，这些电子填充在能级最低的前5个型分子轨道上。离子受到光的照射，电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需要的最低能量即第5和第6两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长。应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长：实验值为510.0n
5、m，计算值与实验值的相对误差为-0.67%。【1.20】已知封闭的圆环中粒子的能级为： 式中为量子数，是圆环的半径，若将此能级公式近似地用于苯分子中离域键，取R=140pm，试求其电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。解：由量子数n可知，n=0为非简并态，|n|1都为二重简并态，6个电子填入n=0，1，等3个轨道，如图1.20所示：图1.20苯分子能级和电子排布 实验表明，苯的紫外光谱中出现，和共3个吸收带，它们的吸收位置分别为184.0nm，208.0nm和263.0nm，前两者为强吸收，后面一个是弱吸收。由于最低反键轨道能级分裂为三种激发态，这3个吸收带皆源于电子在最高成键轨道和最低
6、反键之间的跃迁。计算结果和实验测定值符合较好。【1.21】函数是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。 解：该函数是长度为的一维势箱中粒子的一种可能状态。因为函数和都是一维势箱中粒子的可能状态（本征态），根据量子力学基本假设（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。因为常数所以，不是的本征函数，即其能量无确定值，可按下述步骤计算其平均值。将归一化：设=，即： 所代表的状态的能量平均值为： 也可先将和归一化，求出相应的能量，再利用式求出所代表的状态的能量平均值：【2.9】已知氢原子的，试回答下列问题：(a)原子轨道能E=?(b
7、)轨道角动量|M|=?轨道磁矩|=?(c)轨道角动量M和z轴的夹角是多少度？(d)列出计算电子离核平均距离的公式（不算出具体的数值）。(e)节面的个数、位置和形状怎么样？(f)概率密度极大值的位置在何处？(g)画出径向分布示意图。解：（a）原子的轨道能：（b）轨道角动量：轨道磁矩：（c）轨道角动量和z轴的夹角：， （d）电子离核的平均距离的表达式为： （e）令，得：r=0，r=，=900节面或节点通常不包括r=0和r=，故的节面只有一个，即xy平面（当然，坐标原点也包含在xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分，求得=900。（f）几率密度为： 由式可见，若r相同，则当=00或=1800时最大（
8、亦可令，=00或=1800），以表示，即：将对r微分并使之为0，有： 解之得：r=2a0（r=0和r=舍去）又因： 所以，当=00或=1800，r=2a0时，有极大值。此极大值为： （g）根据此式列出D-r数据表：r/a001.02.03.04.05.06.0D/00.0150.0900.1690.1950.1750.134r/a07.08.09.010.011.012.0D/0.0910.0570.0340.0191.0210-25.310-3按表中数据作出D-r图如下：图2.9 H原子的D-r图由图可见,氢原子的径向分布图有n-l1个极大(峰)和n-l-10个极小(节面)，这符合一般径向分
9、布图峰数和节面数的规律。其极大值在r4a0处。这与最大几率密度对应的r值不同，因为二者的物理意义不同。另外，由于径向分布函数只与n和l有关而与m无关，2px、2py和2pz的径向分布图相同。【2.10】对氢原子，所有波函数都已归一化。请对所描述的状态计算：(a)能量平均值及能量出现的概率；(b)角动量平均值及角动量出现的概率；(c)角动量在z轴上的分量的平均值及角动量z轴分量出现的概率。解：根据量子力学基本假设-态叠加原理，对氢原子所描述的状态：(a)能量平均值 能量出现的概率为 (b)角动量平均值为 角动量出现的概率为 (c)角动量在z轴上的分量的平均值为 角动量z轴分量h/出现的概率为0。
10、【2.13】写出He原子的Schrdinger方程,说明用中心力场模型解此方程时要作那些假设,计算其激发态(2s)1(2p)1的轨道角动量和轨道磁矩.解：He原子的Schrodinger方程为： 式中和分别是电子1和电子2到核的距离，是电子1和电子2之间的距离，若以原子单位表示，则He原子的Schrodinger方程为：用中心力场解此方程时作了如下假设：(1)将电子2对电子1（1和2互换亦然）的排斥作用归结为电子2的平均电荷分布所产生的一个以原子核为中心的球对称平均势场的作用（不探究排斥作用的瞬时效果，只着眼于排斥作用的平均效果）。该势场叠加在核的库仑场上，形成了一个合成的平均势场。电子1在此
11、平均势场中独立运动，其势能只是自身坐标的函数，而与两电子间距离无关。这样，上述Schrodinger方程能量算符中的第三项就消失了。它在形式上变得与单电子原子的Schrodinger方程相似。(2)既然电子2所产生的平均势场是以原子核为中心的球形场，那么它对电子1的排斥作用的效果可视为对核电荷的屏蔽，即抵消了个核电荷，使电子1感受到的有效电荷降低为。这样，Schrodinger方程能量算符中的吸引项就变成了，于是电子1的单电子Schrodinger方程变为： 按求解单电子原子Schrodinger方程的方法即可求出单电子波函数及相应的原子轨道能。上述分析同样适合于电子2，因此，电子2的Schr
12、odinger方程为： 电子2的单电子波函数和相应的能量分别为和。He原子的波函数可写成两单电子波函数之积： He原子的总能量为： He原子激发态角动量加和后L=，故轨道角动量和轨道磁距分别为： 【1.14】写出Li2+离子的Schrdinger方程，说明该方程中各符号及各项的意义，写出Li2+离子1s态的波函数并计算或回答：(a)1s电子径向分布最大值离核的距离； (b)1s电子离核的平均距离； (c)1s电子几率密度最大处离核的距离；(d)比较Li2+离子的2s和2p态能量的高低；(e)Li原子的第一电高能(按Slater屏蔽常数算有效核电荷)。解：Li2+离子的Schrdinger方程为
13、： 方程中，和r分别代表Li2+的约化质量和电子到核的距离；2，和E分别是Laplace算符、状态函数及该状态的能量，h和0分别是Planck常数和真空电容率。方括号内为总能量算符，其中第一项为动能算符。第二项为势能算符（即势能函数)。 Li2+子1s态的波函数为： （a） 又 1s电子径向分布最大值在距核处。 （b） （c） 因为随着r的增大而单调下降，所以不能用令一阶导数为0的方法求其最大值离核的距离。分析的表达式可见，r0时最大，因而也最大。但实际上r不能为0(电子不可能落到原于核上)，因此更确切的说法是r趋近于0时1s电子的几率密度最大。 （d）Li2+为单电子“原子”，组态的能量只与主量子数有关，所以2s和2p态简并，即E2s=E2p。 （e）Li原子的基组态为(1s)2(2s)1。对2s电子来说，1s电子为其相邻内一组电子，=0.85。因而： 根据Koopmann定理，Li原子的第一电离能为： I1=-E2s=5.75eV【2.19】写出下列原子能量最低的光谱支项的符号：(a)Si; (b)Mn; (c)Br; (d)Nb; (e)Ni解：写出各原子的基组态和最外层电子排布（对全充满的电子层，电子的自旋互相抵消，各电子的轨道角动量矢量也相互
