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1、3.3 泰勒级数展开,3.3 泰勒级数展开,通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.,3.3.1泰勒级数,其中z在C的内部,，而,在C上取值, C取逆时针正方向. 故,从而,因为,根据,3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法,例3.3.1 在 的邻域上把 展开。,解：函数 的各阶导数 而,故 在 领域上的泰勒级数写为,易求收敛半径无限大,例3.3.2 在 的邻域把 和 展开。,解： 函数 的前四阶导数分别为,由上可见其四阶导数等于函数本
2、身，因此其高阶导数是前四阶导数的重复。 且在 有,故有,同样的方法，可求得 在 邻域上的泰勒级数,容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。 即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数就收敛。,例3.3.3 在 的邻域把 展开。,解：多值函数 的支点在 现在展开中心 并非支点，在它的邻域上，各个单值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数, 于是可写成 在邻域上的泰勒级数,可以求得上式的收敛半径为1。因此,上式n0的那一个单值分支叫作 的主值。,例3.3.3 在 的邻域把 展开（m不是正整数）。,解：先计算展开系数,易求其收敛半径为1，故,式中,在许多的单值分支中，n0那一支即 的那一个叫作 的主值。上式也就是指数为非整数的二项式定理。,二、当 较复杂时，求 比较麻烦。根据泰勒展式的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展开成幂级数，基本展开公式如下：,解：利用 有,解：,解：,补充 泰勒展开的方法,1、替换法,解：,第二式中令 即可,2、加减法,3、多项式乘或除,解：,将上面两式直接相乘即可。,解：利用,则,4、化成微分方程法,解：,于是,对上逐次求导有,令 则,依次可得到,3.4 解析延拓,解析延拓是唯一的,
