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1、3.1.1数系的扩充和复数的概念导学案【学习目标】1. 知识与技能：（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾及数系扩充必要性，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；（2）理解复数的有关概念以及符号表示；（3）掌握复数的代数表示形式及其有关概念. 2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念【重点难点】重点: 理解虚数单位的引进的必要性及复数的有关概念难点：复数的有关概念及应用【学法指导】回顾以前学习数的范围扩充过程，体会
2、数系扩充的必要性及现实意义；思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础.【知识链接】1.前两个学段学习的数系扩充：NZQR2. 我们知道方程在实数集中无解，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？【问题探究】探究一、复数的引入引导1: 为了解决方程在实数集中无解的问题，我们设想我们引入一个新数 ， 并规定：（1） ；（2）实数可以与进行加法和乘法运算： 实数与数相加记为： ；实数与数相乘记为： ；实数与实数和相乘记为： ；（3）实数与进行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然
3、成立就是1的一个平方根，即方程x2=1的一个根，方程x2=1的另一个根是!（4）的周期性：4n+1= ，4n+2= ， 4n+3= 4n= .引导2:复数的有关概念：（1）我们把形如 的数叫做复数，其中叫做 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写字母 表示。 （2）复数的代数形式： 复数通常用小写字母 表示，即 ，这一表示形 式叫做复数的代数形式，其中 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部。点拨：当我们遇到使用原有知识解决不了的问题时，可以适当地引入一些新的规定，譬如这里我们引入的数及引入数后实数与进行加法和乘法时的运算律，但是切记引入的 规定要合理，要有一定的依据基础.探究二、两复数相等 复数
4、与相等的充要条件是 .思考：（1）a+bi=1+a=b=1成立吗？为什么？（2）复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？如果不对应该怎样说？ 点拨：考虑到一个复数是由其实部和虚部共同决定，所以两个复数相等的充要条件为实部 与实部相等且虚部与虚部相等.探究三、复数的分类：对于复数 当且仅当时，复数表示： 当且仅当时，复数表示： 当时，复数叫做 当时，复数叫做 点拨：将新生知识合理分类不仅便于后续学习的应用，还可以培养我们分类划归解决问题 的思想，也体
5、现了知识形成的规范性.探究四、复数集C和实数集R之间的关系点拨：引入复数后，每一个实数都可以写成复数形式，即每个实数也是一个复数，因此引入 复数的过程相当于数系的再一次扩充，所以实数集R和复数集C的关系为.【典例分析】例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？引导:考虑复数的有关概念.对于复数，叫实部，叫虚部. 解：点拨：牢记复数的相关概念.例2 实数分别取什么值时，复数是 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 引导:因为，所以，都是实数，由复数是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定实数的值解：点拨：注意区分复数是实数、虚数、纯虚数的条件.例3 已知,其中，求与引导:因为，所以由两个复数相等的定
6、义，可列出关于，的方程组，解这个方程组，可求出，的值解：点拨：两个复数相等，则实部与实部相等，虚部与虚部相等，实质上建立了两个等式关系，也即是相当于建立两个方程，解题时注意体会运用.【目标检测】 1.判断下列命题是否正确： （1）若、为实数，则为虚数；（ ） （2）若为实数，则必为纯虚数； （ ） （3）若为实数，则一定不是虚数； （ ）2.（2010四川），设i是虚数单位，计算（ ）A-1 B 1 C -i D i3.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？ ，0， 实数： 虚数： 纯虚数： 4.若复数为纯虚数，试求实数的值. 提示：由复数是纯虚数的条件可以确定实数的值.5.若,为实数，且，求与. 提示：由复数相等即可得关于、的一个方程组，解方程组即可. 【总结提升】 这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题 【总结反思】 知识 . 重点 . 能力与思想方法 . 【自我评价】你完成本学案的情况为( ) A.很好 B.较好 C.一般 D.较差【作业】红对勾153页课时作业7.
