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1、复变函数考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若收敛，则与都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点. ( ) 7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则. ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.( ) 10.若函数f(z)
2、在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（ ）二.填空题（20分）1、 _.（为自然数）2. _.3.函数的周期为_.4.设，则的孤立奇点有_.5.幂级数的收敛半径为_.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_.7.若，则_.8._，其中n为自然数.9. 的孤立奇点为_ .10.若是的极点，则.三.计算题（40分）：1. 设，求在内的罗朗展式.2. 3. 设，其中，试求4. 求复数的实部与虚部.四. 证明题.(20分)1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正
3、值的那支在的值.复变函数考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.( )2. cos z与sin z在复平面内有界. ( )3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( ) 5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在. ( )6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.( )8. 若数列收敛，则与都收敛. ( )9. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. ( )10. 存在一个在零
4、点解析的函数f(z)使且. ( )二. 填空题. (20分)1. 设，则2.设，则_.3. _.（为自然数） 4. 幂级数的收敛半径为_ .5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是的_零点.6. 函数ez的周期为_. 7. 方程在单位圆内的零点个数为_.8. 设，则的孤立奇点有_.9. 函数的不解析点之集为_.10. .三. 计算题. (40分)1. 求函数的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3. 计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.4. 求 .四. 证明题.
5、(20分)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z与sin z的周期均为. ( )2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( )3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 若数列收敛，则与都收敛. ( )5. 若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数. ( )6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f
6、(z)在上解析,且,则. （ ）8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )9. 若z0是的m阶零点, 则z0是1/的m阶极点. ( )10. 若是的可去奇点，则. ( )二. 填空题. (20分)1. 设，则f(z)的定义域为_.2. 函数ez的周期为_.3. 若，则_.4. _.5. _.（为自然数）6. 幂级数的收敛半径为_.7. 设，则f(z)的孤立奇点有_.8. 设，则.9. 若是的极点，则.10. .三. 计算题. (40分)1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数.2. 试求幂级数的收敛半径.3. 算下列积分：，其中是. 4. 求在|z|
7、1内根的个数.四. 证明题. (20分)1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。复变函数考试试题（四）一. 判断题. (20分)1. 若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件. （ ）2. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. （ ）3. 函数与在整个复平面内有界. （ ）4. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有.（ ）5. 若存在且有限，则z0是函数的可去奇点. （ ）6. 若函数f(z)在区域D内解析且
8、，则f(z)在D内恒为常数. （ ）7. 如果z0是f(z)的本性奇点，则一定不存在. （ ）8. 若，则为的n阶零点. （ ）9. 若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则. （ ）10. 若在内解析，则. （ ）二. 填空题. (20分)1. 设，则.2. 若，则_.3. 函数ez的周期为_.4. 函数的幂级数展开式为_5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是_.6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_.7. 设，则.8. 的孤立奇点为_.9. 若是的极点，则.10. _.三. 计算题. (40分)1. 解方程.2. 设，求3. . 4. 函数有哪些
9、奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四. 证明题. (20分)1. 证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析.2. 证明方程在内仅有3个根.复变函数考试试题（五）一. 判断题.（20分）1. 若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数. （ ）2. 若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数. （ ）3. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. （ ）4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （ ）5. 若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析
10、. （ ）6. 若存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点. （ ）7. 若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析. （ ）8. 设函数在复平面上解析，若它有界，则必为常数. （ ）9. 若是的一级极点，则. （ ）10. 若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则. （ ）二. 填空题.（20分）1. 设，则.2. 当时，为实数.3. 设，则.4. 的周期为_.5. 设，则.6. .7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_。8. 函数的幂级数展开式为_.9. 的孤立奇点为_.10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则.（为自然数）三. 计算题. (40分)1. 求复数的实部与虚部.2. 计算积分：，在这里L表示连接原点到的直线段.3. 求积分：，其中0a1.4. 应用儒歇定理求方程，在|z|1内根的个数，在这里在上解析，并且.四. 证明题. (20分)1. 证明函数除去在外，处处不可微.2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当时，证明:是一个至多n次的多项式或一常数.复变函数考试试题（六）一、 判断题（30分）：1. 若函数在解析，则在连续. （ ）2. 若函数在处满足Caychy-Riemann条件，则在
